Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1817
2019-01-20 
Известно, что $f(x), g(x)$ и $h(x)$ - квадратные трехчлены. Может ли уравнение $f(g(h(x))) = 0$ иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?
Решение:
Предположим, что числа 1, 2, 3, 4, 5, 7 и 8 - корни уравнения $f(g(h(x))) = 0$. Если прямая $x = a$ - ось параболы, задаваемой уравнением $y = h(x)$, то $h(x_1) - h(x_2)$ тогда и только тогда, когда $x_1 + x_2 - 2a$. Многочлен $f(g(x))$ имеет не более четырех корней, но числа $h(1), h(2), \cdots, h(8)$ являются его корнями, следовательно, $a = 9/2$ и $h(4) = h(5), h(3) = h(6), h(2) = h(7), h(1) = h(8)$. Мы попутно доказали, что числа $h(1), h(2), h(3), h(4)$ образуют монотонную последовательность.
Аналогично, рассматривая трехчлен $f(x)$ и его корни $g(h(1)), g(h(2)), g(h(3))$ и $g(h(4))$, получаем, что $h(1) + h(4) = 2b, h(2) + h(3) = 2b$, где прямая $x = b$ - ось параболы, задаваемой уравнением $y = g(x)$. Но из уравнения $h(1) + h(4) = h(2) + h(3)$ для $h(x) = Ax^2 + Bx + C$ следует, что $A = 0$. Получили противоречие.
Ответ. Не может.
Известно, что $f(x), g(x)$ и $h(x)$ - квадратные трехчлены. Может ли уравнение $f(g(h(x))) = 0$ иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?
Решение:
Предположим, что числа 1, 2, 3, 4, 5, 7 и 8 - корни уравнения $f(g(h(x))) = 0$. Если прямая $x = a$ - ось параболы, задаваемой уравнением $y = h(x)$, то $h(x_1) - h(x_2)$ тогда и только тогда, когда $x_1 + x_2 - 2a$. Многочлен $f(g(x))$ имеет не более четырех корней, но числа $h(1), h(2), \cdots, h(8)$ являются его корнями, следовательно, $a = 9/2$ и $h(4) = h(5), h(3) = h(6), h(2) = h(7), h(1) = h(8)$. Мы попутно доказали, что числа $h(1), h(2), h(3), h(4)$ образуют монотонную последовательность.
Аналогично, рассматривая трехчлен $f(x)$ и его корни $g(h(1)), g(h(2)), g(h(3))$ и $g(h(4))$, получаем, что $h(1) + h(4) = 2b, h(2) + h(3) = 2b$, где прямая $x = b$ - ось параболы, задаваемой уравнением $y = g(x)$. Но из уравнения $h(1) + h(4) = h(2) + h(3)$ для $h(x) = Ax^2 + Bx + C$ следует, что $A = 0$. Получили противоречие.
Ответ. Не может.
