Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1810
2019-01-20 
Две окружности $S_1$ и $S_2$ касаются внешним образом в точке $F$. Их общая касательная касается $S_1$ и $S_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Прямая, параллельная $AB$, касается окружности $S_2$ в точке $C$ и пересекает окружность $S_1$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что общая хорда окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BDE$, проходит через точку $F$.
Решение:
Заметим, что точки $A, F$ и $C$ лежат на одной прямой (см. решение задачи 1794). Докажем, что центры окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$, описанных около треугольников $ABC$ и $BDE$ соответственно, лежат на $AC$. Тогда, поскольку общая хорда двух окружностей перпендикулярна линии центров, мы получаем требуемое ($BF \pm FC$, так как $BC$ - диаметр $S_2$).
Очевидно, центр $\omega_1$ лежит на $AC$, так как $\triangle ABC$ - прямоугольный. Поэтому достаточно показать, что центр окружности $\omega_2$ совпадает с $А$. Очевидно, что $AE = AD$, поэтому достаточно проверить, что $AD = AB$.
Пусть радиусы $S_1$ и $S_2$ равны $R$ и $r$ соответственно. Тогда из прямоугольной трапеции $BAO_1O_2,$ где $O_1$ и $O_2$ - центры $S_1$ и $S_2$, находим $AB = 2 \sqrt{Rr}$ (см. рис.).
Проведем серединные перпендикуляры $O_1N$ и $O_1M$ к $ED$ и $AD$ соответственно (см. рис.).
Из подобия треугольников $AND$ и $AMO_1$ находим: $\frac{AD}{AO_1} = \frac{AN}{AM}$ или $\frac{AD}{R} = \frac{2r}{AD/2}$, откуда $AD = 2 \sqrt{Rr}$.
Две окружности $S_1$ и $S_2$ касаются внешним образом в точке $F$. Их общая касательная касается $S_1$ и $S_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Прямая, параллельная $AB$, касается окружности $S_2$ в точке $C$ и пересекает окружность $S_1$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что общая хорда окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BDE$, проходит через точку $F$.
Решение:
Заметим, что точки $A, F$ и $C$ лежат на одной прямой (см. решение задачи 1794). Докажем, что центры окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$, описанных около треугольников $ABC$ и $BDE$ соответственно, лежат на $AC$. Тогда, поскольку общая хорда двух окружностей перпендикулярна линии центров, мы получаем требуемое ($BF \pm FC$, так как $BC$ - диаметр $S_2$).
Очевидно, центр $\omega_1$ лежит на $AC$, так как $\triangle ABC$ - прямоугольный. Поэтому достаточно показать, что центр окружности $\omega_2$ совпадает с $А$. Очевидно, что $AE = AD$, поэтому достаточно проверить, что $AD = AB$.
Пусть радиусы $S_1$ и $S_2$ равны $R$ и $r$ соответственно. Тогда из прямоугольной трапеции $BAO_1O_2,$ где $O_1$ и $O_2$ - центры $S_1$ и $S_2$, находим $AB = 2 \sqrt{Rr}$ (см. рис.).
Проведем серединные перпендикуляры $O_1N$ и $O_1M$ к $ED$ и $AD$ соответственно (см. рис.).
Из подобия треугольников $AND$ и $AMO_1$ находим: $\frac{AD}{AO_1} = \frac{AN}{AM}$ или $\frac{AD}{R} = \frac{2r}{AD/2}$, откуда $AD = 2 \sqrt{Rr}$.
