Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1808
2019-01-20 
Даны натуральные числа $а$ и $b$ такие, что число $ \frac {a+1}{b}+ \frac {b+1}{a}$ является целым. Докажите, что наибольший общий делитель чисел $а$ и $b$ не превосходит числа $\sqrt {a+b}$.
Решение:
Имеем: $\frac{a+1}{b} + \frac{b+1}{a} = \frac{a^2+b^2+a+b}{ab}$.
Пусть $d$ - наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$. Так как $ab$ делится на $d^2,$ то $a^2 + b^2 + a + b$ делится на $d^2$. Число $a^2 + b^2$ также делится на $d^2$. Поэтому $а + b$ делится на $d^2$ и $\sqrt{a+b} \geq d$.
Даны натуральные числа $а$ и $b$ такие, что число $ \frac {a+1}{b}+ \frac {b+1}{a}$ является целым. Докажите, что наибольший общий делитель чисел $а$ и $b$ не превосходит числа $\sqrt {a+b}$.
Решение:
Имеем: $\frac{a+1}{b} + \frac{b+1}{a} = \frac{a^2+b^2+a+b}{ab}$.
Пусть $d$ - наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$. Так как $ab$ делится на $d^2,$ то $a^2 + b^2 + a + b$ делится на $d^2$. Число $a^2 + b^2$ также делится на $d^2$. Поэтому $а + b$ делится на $d^2$ и $\sqrt{a+b} \geq d$.
