Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1806
2019-01-20 
Каждая из окружностей $S_1, S_2$ и $S_3$ касается внешним образом окружности $S$ (в точках $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно) и двух сторон треугольника $ABC$ (рис.). Докажите, что прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Докажем сначала вспомогательное утверждение.
Лемма. Пусть преобразование плоскости $H$ является композицией гомотетий $H_{O_1}^{k_1}$ и $H_{O_2}^{k_2}$ (с центрами $O_1$ и $O_2$, коэффициентами $k_1$ и $k_2$).
Тогда если $k_1k_2 = 1,$ то $H$ - параллельный перенос, а если $k_1k_2 \neq 1,$ то $H$ - гомотетия с коэффициентом $к = k_1k_2$ и центром, лежащим на прямой $O_1O_2$.
Доказательство. Если $X_1 = H_{O_1}^{k_1}(X), Y_1 = H_{O_1}^{k_1}(Y), X_1 = H_{O_2}^{k_2}(X_1), а Y_2 = H_{O_2}^{k_2}(Y_1),$ то $\vec{X_1Y_1} = k_1\vec{XY}$ и $\vec{X_2Y_2} = k_2\vec{X_1Y_1}$. Следовательно, $\vec{X_2Y_2} = k_1k_2\vec{XY}$. Из этого вытекает, что $H$ - параллельный перенос, если $k_1k_2 = 1$, и гомотетия с коэффициентом $k_1k_2,$ если $k_1k_2 \neq 1$.
Пусть $k_1k_2 \neq 1$. Тогда
$\vec{O_2X_2} = k_2 (\vec{O_2O_1} + \vec{O_1X_1}) = k_2\vec{O_2O_1} + k_2k_1\vec{O_1X} = k_2\vec{O_2O_1} + k_lk_2(\vec{O_1O_2} + \vec{O_2X}) = (k_1k_2 - k_2)\vec{O_1O_2} + k_lk_2\vec{O_2X}$.
Подставив сюда центр гомотетии $O$ вместо $X$ и $X_2$, получим, что
$\vec{O_2O} = \frac{k_1k_2 - k_2}{1-k_1k_2}\vec{O_1O_2}$.
Следовательно, точка $O$ принадлежит прямой $O_1O_2$. Лемма доказана.
Перейдем теперь к доказательству утверждения задачи. Пусть $\sigma$ - окружность с центром $J$ и радиусом $r$, вписанная в треугольник $ABC$; $O$ - центр окружности $S$; $X$ - точка, лежащая на отрезке $OJ$, причем $OX : XJ = R : r,$ где $R$ - радиус окружности $S$ (см. рис.).
Выбранная таким образом точка $X$ является центром гомотетии $H$ (с коэффициентом $-R/r$), переводящей окружность $\sigma$ в окружность $S$. Заметим теперь, что $H = H_{A_l} \cdot H_A,$ где $H_A$ - гомотетия с центром $А$ и коэффициентом $k_1 = r_1/r (r_1$ - радиус окружности $S_1$), переводящая $\sigma$ в $S_1$, а $H_{A_1}$ - гомотетия с центром $А_1$ и коэффициентом $k_2 = -R/r_1$, переводящая $S_1$ в $S$. Так как $k_1k_2 = -R/r \neq 1$, то согласно доказанной лемме точка $X$ лежит на прямой $AA_1$. Аналогично доказывается, что она лежит на прямых $BB_1$ и $CC_1$.
Каждая из окружностей $S_1, S_2$ и $S_3$ касается внешним образом окружности $S$ (в точках $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно) и двух сторон треугольника $ABC$ (рис.). Докажите, что прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Докажем сначала вспомогательное утверждение.
Лемма. Пусть преобразование плоскости $H$ является композицией гомотетий $H_{O_1}^{k_1}$ и $H_{O_2}^{k_2}$ (с центрами $O_1$ и $O_2$, коэффициентами $k_1$ и $k_2$).
Тогда если $k_1k_2 = 1,$ то $H$ - параллельный перенос, а если $k_1k_2 \neq 1,$ то $H$ - гомотетия с коэффициентом $к = k_1k_2$ и центром, лежащим на прямой $O_1O_2$.
Доказательство. Если $X_1 = H_{O_1}^{k_1}(X), Y_1 = H_{O_1}^{k_1}(Y), X_1 = H_{O_2}^{k_2}(X_1), а Y_2 = H_{O_2}^{k_2}(Y_1),$ то $\vec{X_1Y_1} = k_1\vec{XY}$ и $\vec{X_2Y_2} = k_2\vec{X_1Y_1}$. Следовательно, $\vec{X_2Y_2} = k_1k_2\vec{XY}$. Из этого вытекает, что $H$ - параллельный перенос, если $k_1k_2 = 1$, и гомотетия с коэффициентом $k_1k_2,$ если $k_1k_2 \neq 1$.
Пусть $k_1k_2 \neq 1$. Тогда
$\vec{O_2X_2} = k_2 (\vec{O_2O_1} + \vec{O_1X_1}) = k_2\vec{O_2O_1} + k_2k_1\vec{O_1X} = k_2\vec{O_2O_1} + k_lk_2(\vec{O_1O_2} + \vec{O_2X}) = (k_1k_2 - k_2)\vec{O_1O_2} + k_lk_2\vec{O_2X}$.
Подставив сюда центр гомотетии $O$ вместо $X$ и $X_2$, получим, что
$\vec{O_2O} = \frac{k_1k_2 - k_2}{1-k_1k_2}\vec{O_1O_2}$.
Следовательно, точка $O$ принадлежит прямой $O_1O_2$. Лемма доказана.
Перейдем теперь к доказательству утверждения задачи. Пусть $\sigma$ - окружность с центром $J$ и радиусом $r$, вписанная в треугольник $ABC$; $O$ - центр окружности $S$; $X$ - точка, лежащая на отрезке $OJ$, причем $OX : XJ = R : r,$ где $R$ - радиус окружности $S$ (см. рис.).
Выбранная таким образом точка $X$ является центром гомотетии $H$ (с коэффициентом $-R/r$), переводящей окружность $\sigma$ в окружность $S$. Заметим теперь, что $H = H_{A_l} \cdot H_A,$ где $H_A$ - гомотетия с центром $А$ и коэффициентом $k_1 = r_1/r (r_1$ - радиус окружности $S_1$), переводящая $\sigma$ в $S_1$, а $H_{A_1}$ - гомотетия с центром $А_1$ и коэффициентом $k_2 = -R/r_1$, переводящая $S_1$ в $S$. Так как $k_1k_2 = -R/r \neq 1$, то согласно доказанной лемме точка $X$ лежит на прямой $AA_1$. Аналогично доказывается, что она лежит на прямых $BB_1$ и $CC_1$.
