Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1804
2019-01-20 
Докажите, что для натуральных чисел $k, m$ и $n$ справедливо неравенство $[k, m] \cdot [m, n] \cdot [n, k] \geq {[k, m, n]}^2$ (здесь через $[x, y,\cdots]$ обозначено наименьшее общее кратное чисел $x,y,\cdots$).
Решение:
Сравним степени, в которых данное простое число $p$ входит в левую и правую части доказываемого неравенства. Пусть $p$ входит в разложение числа $k$ на простые множители в степени $\alpha$, в разложение числа $m$ - в степени $\beta$ и в разложение числа $n$ - в степени $\gamma$. Без ограничения общности можно считать, что $\alpha \leq \beta \leq \gamma$. Тогда в правую часть $p$ входит в степени $2\gamma$, а в левую - в степени $\beta + 2\gamma$, откуда и следует требуемое неравенство.
Докажите, что для натуральных чисел $k, m$ и $n$ справедливо неравенство $[k, m] \cdot [m, n] \cdot [n, k] \geq {[k, m, n]}^2$ (здесь через $[x, y,\cdots]$ обозначено наименьшее общее кратное чисел $x,y,\cdots$).
Решение:
Сравним степени, в которых данное простое число $p$ входит в левую и правую части доказываемого неравенства. Пусть $p$ входит в разложение числа $k$ на простые множители в степени $\alpha$, в разложение числа $m$ - в степени $\beta$ и в разложение числа $n$ - в степени $\gamma$. Без ограничения общности можно считать, что $\alpha \leq \beta \leq \gamma$. Тогда в правую часть $p$ входит в степени $2\gamma$, а в левую - в степени $\beta + 2\gamma$, откуда и следует требуемое неравенство.
