Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1803
2019-01-20 
В правильном $(6n + 1)$-угольнике $K$ вершин покрашено в красный цвет, а остальные - в синий. Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.
Решение:
Будем для краткости называть треугольниками равнобедренные треугольники с вершинами в вершинах $(6n + 1)$-угольника.
Заметим, что всякая диагональ и всякая сторона данного многоугольника M принадлежит ровно трем различным треугольникам (этот факт верен только при условии, что число сторон многоугольника имеет при делении на 6 остаток 1 или 5).
Обозначим через $CC, CK$ и $KK$ число диагоналей и сторон $M$, концы которых окрашены в синий, синий и красный, красный цвета соответственно, а через $CCC, CCK, CKK$ и $KKK$ число треугольников, у которых в синий цвет окрашены 3, 2, 1 и 0 вершин соответственно.
Тогда $3 \cdot CC = 3 \cdot CCC + CCK$, так как каждая диагональ (или сторона) $M$ принадлежит трем треугольникам, в треугольниках с тремя синими вершинами три стороны с двумя синими концами, в треугольнике с двумя синими вершинами одна такая сторона, а в треугольниках с меньшим числом синих вершин таких сторон нет.
Аналогично доказываются равенства
$3 \cdot KC = 2 \cdot CCK + 2 \cdot CKK$ и $3 \cdot KK = CKK + 3 \cdot KKK$.
Из этих равенств следует, что
$ССС + ККК = КК + СС - \frac {1}{2} \cdot КС = \frac{1}{2} K(K-1)+ \frac {1}{2}K(K-1)- \frac {1}{2}К \cdot С,$
где $C$ - число синих вершин, $C = 6n +1 - K$.
Это и доказывает утверждение задачи.
В правильном $(6n + 1)$-угольнике $K$ вершин покрашено в красный цвет, а остальные - в синий. Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.
Решение:
Будем для краткости называть треугольниками равнобедренные треугольники с вершинами в вершинах $(6n + 1)$-угольника.
Заметим, что всякая диагональ и всякая сторона данного многоугольника M принадлежит ровно трем различным треугольникам (этот факт верен только при условии, что число сторон многоугольника имеет при делении на 6 остаток 1 или 5).
Обозначим через $CC, CK$ и $KK$ число диагоналей и сторон $M$, концы которых окрашены в синий, синий и красный, красный цвета соответственно, а через $CCC, CCK, CKK$ и $KKK$ число треугольников, у которых в синий цвет окрашены 3, 2, 1 и 0 вершин соответственно.
Тогда $3 \cdot CC = 3 \cdot CCC + CCK$, так как каждая диагональ (или сторона) $M$ принадлежит трем треугольникам, в треугольниках с тремя синими вершинами три стороны с двумя синими концами, в треугольнике с двумя синими вершинами одна такая сторона, а в треугольниках с меньшим числом синих вершин таких сторон нет.
Аналогично доказываются равенства
$3 \cdot KC = 2 \cdot CCK + 2 \cdot CKK$ и $3 \cdot KK = CKK + 3 \cdot KKK$.
Из этих равенств следует, что
$ССС + ККК = КК + СС - \frac {1}{2} \cdot КС = \frac{1}{2} K(K-1)+ \frac {1}{2}K(K-1)- \frac {1}{2}К \cdot С,$
где $C$ - число синих вершин, $C = 6n +1 - K$.
Это и доказывает утверждение задачи.
