ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-01-20   
Пусть $a, b$ и $с$ - длины сторон треугольника, $m_а, m_b$ и $m_c$ - длины медиан, проведенных к этим сторонам, $D$ - диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что $ \frac {a^2+b^2}{m_c}+ \frac {b^2+c^2}{m_a}+ \frac {c^2+a^2}{m_b} \leq 6D$.


Решение:



Продолжим медианы до пересечения с описанной окружностью в точках $A_1, B_1$ и $C_1$ (см. рис.). Очевидно, что $AA_1 \leq D, BB_1 \leq D, CC_1 \leq D$, т. е.

$m_a \cdot A_1A_2 \leq D, m_b + B_1B_2 \leq D, m_c + C_1C_2 \leq D$. (1)

Найдем $A_1A_2$. По теореме о пересекающихся хордах $A_1A_2 \cdot AA_2 = ВА_2 \cdot А_2С$, т. е. $m_а \cdot A_1A_2 = \frac{a^2}{4}$ и $A_1A_2 = \frac{a^2}{4m_a}$. Аналогично, $B_1B_2 = \frac{b^2}{4m_b}$ и $C_1C_2 = \frac{c^2}{4m_c}$.

Подставим эти выражения в неравенства (1) и сложим их:

$\frac{4m_a^2 + a^2}{4m_a} + \frac{4m_b^2 + b^2}{4m_b} + \frac{4m_c^2 + c^2}{4m_c} \leq 3D$,

но $4m_a^2 + a^2 = 2b^2 + 2c^2, 4m_b^2 + b^2 = 2c^2 + 2a^2, 4m_c^2 + c^2 = 2a^2 + 2b^2$(сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон), следовательно,

$\frac{a^2 + b^2}{2m_c} + \frac{b^2 + c^2}{2m_a} + \frac{c^2 + a^2}{2m_b} \leq 3D$,

откуда и вытекает требуемое неравенство.