Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 180
2014-06-07 
Найти все тройки чисел $a, b, c \in \mathbf{N}$ являющихся длинами сторон треугольника с диаметром описанной окружности, равным 6,25.
Решение:
Пусть $a, b, c \in \mathbf{N}$ - длины сторон треугольника с диаметром $2R = 6,25$ описанной окружности, площадью $S$ и полупериметром $p = (a+b+c)/2$. Так как $a, b , c \leq 2R$, то
$a, b, c \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.
Далее, имеем равенства
$(abc)^{2} = (4SR)^{2}= p (p - a) (p - b) (p - c) (4R)^{2}$,
откуда получаем
$64a^{2}b^{2}c^{2} = 625 (a+b+c)(c+b-a)(a+c-b)(a+b-c)$.
Следовательно, число $64a^{2}b^{2}c^{2}$ делится на 625, а значит, но крайней мере два из трех чисел $a, b, c$ равны 5. Пусть, например, $a = b = 5$, тогда
$64c^{2} = (10 + c)c^{2}(10 - c)$,
т, е. $64 = 100 – c^{2}$, откуда $c = 6$. Итак, искомая тройка может состоять только из чисел 5, 5, 6, которые, как показывает проверка, удовлетворяют условию задачи.
Найти все тройки чисел $a, b, c \in \mathbf{N}$ являющихся длинами сторон треугольника с диаметром описанной окружности, равным 6,25.
Решение:
Пусть $a, b, c \in \mathbf{N}$ - длины сторон треугольника с диаметром $2R = 6,25$ описанной окружности, площадью $S$ и полупериметром $p = (a+b+c)/2$. Так как $a, b , c \leq 2R$, то
$a, b, c \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.
Далее, имеем равенства
$(abc)^{2} = (4SR)^{2}= p (p - a) (p - b) (p - c) (4R)^{2}$,
откуда получаем
$64a^{2}b^{2}c^{2} = 625 (a+b+c)(c+b-a)(a+c-b)(a+b-c)$.
Следовательно, число $64a^{2}b^{2}c^{2}$ делится на 625, а значит, но крайней мере два из трех чисел $a, b, c$ равны 5. Пусть, например, $a = b = 5$, тогда
$64c^{2} = (10 + c)c^{2}(10 - c)$,
т, е. $64 = 100 – c^{2}$, откуда $c = 6$. Итак, искомая тройка может состоять только из чисел 5, 5, 6, которые, как показывает проверка, удовлетворяют условию задачи.
