Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1795
2019-01-20 
На столе лежат три кучки спичек. В первой кучке находится 100 спичек, во второй - 200, а в третьей - 300. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди, за один ход игрок должен убрать одну из кучек, а любую из оставшихся разделить на две непустые части. Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?
Решение:
Если перед ходом начинающего количества спичек на столе имеют вид $2^n \cdot а, 2^n \cdot b$ и $2^m \cdot с,$ где $0 \leq n < m$, а числа $a, b$ и $c$ нечетны, то он сможет, очевидно, сделать свой следующий ход. Докажем индукцией по числу ходов $к$, сделанных начинающим, что он сможет добиться такого распределения спичек по кучкам перед каждым своим ходом.
При $k = 0$ утверждение верно: $100 = 2^2 \cdot 25, 300 = 2^2 \cdot 75, 200 = 2^3 \cdot 25$.
Предположим, что оно справедливо для $k = l - 1$. Это означает, что перед $l$-м ходом начинающего на столе лежат кучки, содержащие $2^n \cdot a, 2^n \cdot b$ и $2^m \cdot c$ спичек. Тогда своим $l$-м ходом начинающий уберет кучку из $2n \cdot а$ спичек, а кучку из $2^m \cdot с$ спичек разделит на кучки из $2^n$ и $2^n(2^{m-n} \cdot с - 1)$ спичек. После этого количества спичек в кучках будут иметь вид $2^n \cdot а_1, 2^n \cdot а_2, 2^n \cdot а_3$, где $а_1, а_2$ и $а_3$ - нечетные числа. Без ограничения общности можно считать, что второй игрок своим ходом убирает кучку из $2^n \cdot а_1$ спичек, а кучку из $2^n \cdot а_2$ спичек делит на две кучки - из $2^{n_i} \cdot b_1$ и $2^{n_2} \cdot b_2,$ где $b_1$ и $b_2$ - нечетные числа и $n_1 \geq n_2$. Тогда $2^n \cdot а_2 = 2^{n_i} \cdot b_1 + 2^{n_2} \cdot b_2$. Если при этом $n_1 < n$, то $n_1 = n_2 < n$, и утверждение верно; если $n_1 = n$, то $n_2 > n$, а если $n_1 > n$, то $n_2 = n$, следовательно, утверждение верно и при $к = l$.
Ответ. Выигрывает начинающий.
На столе лежат три кучки спичек. В первой кучке находится 100 спичек, во второй - 200, а в третьей - 300. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди, за один ход игрок должен убрать одну из кучек, а любую из оставшихся разделить на две непустые части. Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?
Решение:
Если перед ходом начинающего количества спичек на столе имеют вид $2^n \cdot а, 2^n \cdot b$ и $2^m \cdot с,$ где $0 \leq n < m$, а числа $a, b$ и $c$ нечетны, то он сможет, очевидно, сделать свой следующий ход. Докажем индукцией по числу ходов $к$, сделанных начинающим, что он сможет добиться такого распределения спичек по кучкам перед каждым своим ходом.
При $k = 0$ утверждение верно: $100 = 2^2 \cdot 25, 300 = 2^2 \cdot 75, 200 = 2^3 \cdot 25$.
Предположим, что оно справедливо для $k = l - 1$. Это означает, что перед $l$-м ходом начинающего на столе лежат кучки, содержащие $2^n \cdot a, 2^n \cdot b$ и $2^m \cdot c$ спичек. Тогда своим $l$-м ходом начинающий уберет кучку из $2n \cdot а$ спичек, а кучку из $2^m \cdot с$ спичек разделит на кучки из $2^n$ и $2^n(2^{m-n} \cdot с - 1)$ спичек. После этого количества спичек в кучках будут иметь вид $2^n \cdot а_1, 2^n \cdot а_2, 2^n \cdot а_3$, где $а_1, а_2$ и $а_3$ - нечетные числа. Без ограничения общности можно считать, что второй игрок своим ходом убирает кучку из $2^n \cdot а_1$ спичек, а кучку из $2^n \cdot а_2$ спичек делит на две кучки - из $2^{n_i} \cdot b_1$ и $2^{n_2} \cdot b_2,$ где $b_1$ и $b_2$ - нечетные числа и $n_1 \geq n_2$. Тогда $2^n \cdot а_2 = 2^{n_i} \cdot b_1 + 2^{n_2} \cdot b_2$. Если при этом $n_1 < n$, то $n_1 = n_2 < n$, и утверждение верно; если $n_1 = n$, то $n_2 > n$, а если $n_1 > n$, то $n_2 = n$, следовательно, утверждение верно и при $к = l$.
Ответ. Выигрывает начинающий.
