Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1794
2019-01-20 
Окружности $S_1$ и $S_2$ касаются внешним образом в точке $F$. Прямая $l$ касается $S_1$ и $S_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Прямая, параллельная прямой $l$, касается $S_2$ в точке $C$ и пересекает $S_1$ в двух точках. Докажите, что точки $A, F$ и $C$ лежат на одной прямой.
Решение:
Первое решение. Так как касательные к окружности $S_2$ в точках $B$ и $C$ параллельны, то $BC$ - ее диаметр, и $\angle BFC = 90^{\circ}$. Докажем, что и $\angle AFB = 90^{\circ}$. Проведем через точку $F$ общую касательную к окружностям (см.![]()
), пусть она пересекает прямую $l$ в точке $K$. Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что треугольники $AKF$ и $BKF$ равнобедренные. Следовательно,
$\angle AFB = \angle AFK + \angle KFB = \angle FAB + \angle FBA = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$.
Второе решение. Рассмотрим гомотетию с центром $F$ и коэффициентом, равным $\frac{r_2}{r_1}$, где $r_1$ и $r_2$ - радиусы окружностей $S_1$ и $S_2$. При этой гомотетии $S_1$ переходит в $S_2$, а прямая $l$ - касательная к $S_1$ - переходит в параллельную прямую - касательную к $S_2$. Следовательно, точка $A$ переходит в точку $C$, поэтому точка $F$ лежит на отрезке $AC$.
Окружности $S_1$ и $S_2$ касаются внешним образом в точке $F$. Прямая $l$ касается $S_1$ и $S_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Прямая, параллельная прямой $l$, касается $S_2$ в точке $C$ и пересекает $S_1$ в двух точках. Докажите, что точки $A, F$ и $C$ лежат на одной прямой.
Решение:
Первое решение. Так как касательные к окружности $S_2$ в точках $B$ и $C$ параллельны, то $BC$ - ее диаметр, и $\angle BFC = 90^{\circ}$. Докажем, что и $\angle AFB = 90^{\circ}$. Проведем через точку $F$ общую касательную к окружностям (см.
$\angle AFB = \angle AFK + \angle KFB = \angle FAB + \angle FBA = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$.
Второе решение. Рассмотрим гомотетию с центром $F$ и коэффициентом, равным $\frac{r_2}{r_1}$, где $r_1$ и $r_2$ - радиусы окружностей $S_1$ и $S_2$. При этой гомотетии $S_1$ переходит в $S_2$, а прямая $l$ - касательная к $S_1$ - переходит в параллельную прямую - касательную к $S_2$. Следовательно, точка $A$ переходит в точку $C$, поэтому точка $F$ лежит на отрезке $AC$.
