Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1791
2019-01-20 
В турнире по теннису $n$ участников хотят провести парные (двое на двое) матчи так, чтобы каждый из участников имел своим противником каждого из остальных ровно в одном матче. При каких $n$ возможен такой турнир?
Решение:
Пусть описанный в задаче турнир проведен. Тогда все противники одного теннисиста разбиваются на пары, поэтому $n$ нечетно. Все возможные пары противников разбиваются на четверки пар, игравших в одном матче. Следовательно, число этих пар $\frac{n(n-1)}{2}$ кратно четырем, откуда $n - 1 = 8k$.
Докажем, что при любом $к = 1, 2, \cdots$ указанный турнир для $n = 8k + 1$ участников возможен.
При $к = 1$ для описания турнира поставим в соответствие теннисистам вершины правильного девятиугольника $А_1A_2 \cdots А_9$. На рис. изображен матч пары $А_1, А_2$ против пары $А_3, А_5$, причем отрезками соединены противники. Поворачивая эту конструкцию из отрезков вокруг центра на углы. кратные мы получим изображения для остальных восьми матчей. При этом каждая хорда вида $A_iA_j$ появится в изображении один раз, поскольку она равна в точности одной из хорд $А_2A_3, А_1A_3, А_2A_5$ и $А_1A_5$. При $к > 1$ выделим одного из $8k + 1$ теннисистов, а остальных разобьем на $к$ групп по 8 человек. Присоединяя выделенного теннисиста последовательно к каждой группе, проведем в них турниры по описанной выше схеме для 9 человек. Тогда останется только провести матчи между противниками из разных групп. Для этого достаточно разбить каждую группу на 4 команды по 2 человека и провести все возможные матчи между командами из разных групп.
Ответ. $n = 8k +1,$ где $k \in \mathbb{N}$.
В турнире по теннису $n$ участников хотят провести парные (двое на двое) матчи так, чтобы каждый из участников имел своим противником каждого из остальных ровно в одном матче. При каких $n$ возможен такой турнир?
Решение:
Пусть описанный в задаче турнир проведен. Тогда все противники одного теннисиста разбиваются на пары, поэтому $n$ нечетно. Все возможные пары противников разбиваются на четверки пар, игравших в одном матче. Следовательно, число этих пар $\frac{n(n-1)}{2}$ кратно четырем, откуда $n - 1 = 8k$.
Докажем, что при любом $к = 1, 2, \cdots$ указанный турнир для $n = 8k + 1$ участников возможен.
При $к = 1$ для описания турнира поставим в соответствие теннисистам вершины правильного девятиугольника $А_1A_2 \cdots А_9$. На рис. изображен матч пары $А_1, А_2$ против пары $А_3, А_5$, причем отрезками соединены противники. Поворачивая эту конструкцию из отрезков вокруг центра на углы. кратные мы получим изображения для остальных восьми матчей. При этом каждая хорда вида $A_iA_j$ появится в изображении один раз, поскольку она равна в точности одной из хорд $А_2A_3, А_1A_3, А_2A_5$ и $А_1A_5$. При $к > 1$ выделим одного из $8k + 1$ теннисистов, а остальных разобьем на $к$ групп по 8 человек. Присоединяя выделенного теннисиста последовательно к каждой группе, проведем в них турниры по описанной выше схеме для 9 человек. Тогда останется только провести матчи между противниками из разных групп. Для этого достаточно разбить каждую группу на 4 команды по 2 человека и провести все возможные матчи между командами из разных групп.
Ответ. $n = 8k +1,$ где $k \in \mathbb{N}$.
