Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1788
2019-01-20 
Докажите, что существует такое натуральное число $n$, что если правильный треугольник со стороной $n$ разбить прямыми, параллельными его сторонам, на $n^2$ правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать $1993n$ точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).
Решение:
Пусть для некоторого $n$ указанное в задаче разбиение произведено. Раскрасим вершины треугольников в 3 цвета, как па рис., где цвета обозначены буквами А, В, С. Заметим, что у любого правильного треугольника с вершинами в этих точках все вершины либо разноцветные, либо одноцветные. Убедиться в этом можно, проверив, что если такой треугольник повернуть вокруг любой его вершины (без потери общности можно считать, что она имеет цвет А) на угол $60^{ \circ}$, то вершины, оставшиеся после поворота в исходном треугольнике и имевшие цвет А, сохранят его, а имевшие цвет В и С — поменяют его на С и В соответственно (если одна из вершин правильного треугольника с вершинами в покрашенных точках совпадает с центром поворота, то одна из оставшихся вершин переходит в другую).
Выберем цвет, которым покрашено наименьшее число точек, и выбросим точки этого цвета. Эту операцию назовем разрежением. Останется не менее $\frac{2}{3} \cdot \frac{n^2}{2}$ точек двух цветов (так как точек было больше, чем $\frac{n^2}{2}$). Любой правильный треугольник с вершинами в этих точках одноцветный, а значит, имеет сторону длиной не менее $\sqrt{3}$. Рассмотрим отдельно множество точек каждого из двух оставшихся цветов, которые образуют часть треугольной решетки со стороной $\sqrt{3}$, и сделаем аналогичное разрежение. В результате останется не менее $(\frac{2}{3})^2 \cdot \frac{n^2}{2}$ точек, которые могут образовывать вершины правильного треугольника только со стороной не менее $(\sqrt{3})^2$. Действуя аналогично, после $k$-го разрежения, мы сохраним не менее $(\frac{2}{3})^k \cdot \frac{n^2}{2}$ точек, а правильные треугольники будут иметь сторону не менее, чем $(\sqrt{3})^k$.
Пусть $n = 3^m$, тогда после $k = 2m + 1$ разрежений, правильных треугольников не останется вовсе, а точек останется не менее, чем $\frac{2}{3}^{2m+1} \cdot \frac{n^2}{2} = (\frac{4}{3})^m \cdot \frac{n}{3} \geq 1993 \cdot n,$ при $(\frac{4}{3})^m \geq 3 \cdot 1993$. Таким образом, достаточно взять $m > log_{\frac{4}{3}} (3 \cdot 1993)$.
Докажите, что существует такое натуральное число $n$, что если правильный треугольник со стороной $n$ разбить прямыми, параллельными его сторонам, на $n^2$ правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать $1993n$ точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).
Решение:
Пусть для некоторого $n$ указанное в задаче разбиение произведено. Раскрасим вершины треугольников в 3 цвета, как па рис., где цвета обозначены буквами А, В, С. Заметим, что у любого правильного треугольника с вершинами в этих точках все вершины либо разноцветные, либо одноцветные. Убедиться в этом можно, проверив, что если такой треугольник повернуть вокруг любой его вершины (без потери общности можно считать, что она имеет цвет А) на угол $60^{ \circ}$, то вершины, оставшиеся после поворота в исходном треугольнике и имевшие цвет А, сохранят его, а имевшие цвет В и С — поменяют его на С и В соответственно (если одна из вершин правильного треугольника с вершинами в покрашенных точках совпадает с центром поворота, то одна из оставшихся вершин переходит в другую).
Выберем цвет, которым покрашено наименьшее число точек, и выбросим точки этого цвета. Эту операцию назовем разрежением. Останется не менее $\frac{2}{3} \cdot \frac{n^2}{2}$ точек двух цветов (так как точек было больше, чем $\frac{n^2}{2}$). Любой правильный треугольник с вершинами в этих точках одноцветный, а значит, имеет сторону длиной не менее $\sqrt{3}$. Рассмотрим отдельно множество точек каждого из двух оставшихся цветов, которые образуют часть треугольной решетки со стороной $\sqrt{3}$, и сделаем аналогичное разрежение. В результате останется не менее $(\frac{2}{3})^2 \cdot \frac{n^2}{2}$ точек, которые могут образовывать вершины правильного треугольника только со стороной не менее $(\sqrt{3})^2$. Действуя аналогично, после $k$-го разрежения, мы сохраним не менее $(\frac{2}{3})^k \cdot \frac{n^2}{2}$ точек, а правильные треугольники будут иметь сторону не менее, чем $(\sqrt{3})^k$.
Пусть $n = 3^m$, тогда после $k = 2m + 1$ разрежений, правильных треугольников не останется вовсе, а точек останется не менее, чем $\frac{2}{3}^{2m+1} \cdot \frac{n^2}{2} = (\frac{4}{3})^m \cdot \frac{n}{3} \geq 1993 \cdot n,$ при $(\frac{4}{3})^m \geq 3 \cdot 1993$. Таким образом, достаточно взять $m > log_{\frac{4}{3}} (3 \cdot 1993)$.
