Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1786
2019-01-20 
Два прямоугольных треугольника расположены на плоскости так, что их медианы, проведенные к гипотенузам, параллельны. Докажите, что угол между некоторым катетом одного треугольника и некоторым катетом другого треугольника вдвое меньше угла между их гипотенузами.
Решение:
Параллельным переносом одного из двух данных треугольников совместим вершины $C = C^{\prime}$ их прямых углов, а гомотетией того же треугольника с центром в точке $C$ совместим их медианы (см. рис.). Тогда окружность с центром $E$ и радиусом $CE$ описана около обоих треугольников, причем угол между их гипотенузами - центральный и, значит, вдвое больше соответствующего вписанного угла, каковым является один из углов между катетами (на рис. это углы: $\angle AEA^{\prime} = 2 \angle ACA^{\prime})$. Для доказательства требуемого утверждения остается заметить, что проделанные выше преобразования одного из треугольников не меняют углов между прямыми.
Два прямоугольных треугольника расположены на плоскости так, что их медианы, проведенные к гипотенузам, параллельны. Докажите, что угол между некоторым катетом одного треугольника и некоторым катетом другого треугольника вдвое меньше угла между их гипотенузами.
Решение:
Параллельным переносом одного из двух данных треугольников совместим вершины $C = C^{\prime}$ их прямых углов, а гомотетией того же треугольника с центром в точке $C$ совместим их медианы (см. рис.). Тогда окружность с центром $E$ и радиусом $CE$ описана около обоих треугольников, причем угол между их гипотенузами - центральный и, значит, вдвое больше соответствующего вписанного угла, каковым является один из углов между катетами (на рис. это углы: $\angle AEA^{\prime} = 2 \angle ACA^{\prime})$. Для доказательства требуемого утверждения остается заметить, что проделанные выше преобразования одного из треугольников не меняют углов между прямыми.
