ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-01-20   
Верно ли, что любые два прямоугольника равной площади можно расположить на плоскости так, что любая горизонтальная прямая, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причем по отрезку той же длины?


Решение:


Пусть даны два прямоугольника равной площади: $A_1B_1C_1D_1$ со сторонами $a_1$ и $b_1$ и $A_2B_2C_2D_2$ со сторонами $a_2$ и $b_2$. Без ограничения общности будем считать, что $a_1 < b_2$ и $a_2 < b_1$ (если $a_1 = b_2$, то в силу равенства площадей и $a_2 = b_1$, в этом случае утверждение очевидно); случай $a_1 < b_2, b_1 < a_2$ невозможен, так как $a_1b_1 = a_2b_2$.


Расположим прямоугольники так, как показано на рис. Это расположение удовлетворяет условию задачи. Докажем это.

Заметим сначала, что $A_1A_2 \parallel C_1C_2$. Действительно, из подобия треугольников получаем, что $\frac{h_1}{h} = \frac{b_1 - a_2}{a_2}$ и $\frac{h_2}{h} = \frac{b_2 - a_1}{a_1}$, следовательно, $h_1 = h_2$ и $А_1A_2 \parallel C_1C_2$. Из этого вытекает, что четырехугольники $A_1E_1C_1C_2$ и $A_2E_2C_2C_1$ - параллелограммы (значит, $A_1E_1 = A_2E_2$), и площади их равны. Тогда, в силу равенства площадей прямоугольников, равны и площади треугольников $A_1B_1E_1$ и $A_2B_2E_2$, а так как $A_1E_1 = A_2E_2$, то равны их высоты. Поэтому $B_1B_2 \parallel A_1A_2 = a_1$. Следовательно, треугольники $A_1B_1E_1$ и $E_2B_2A_2$ равны по двум катетам. Из этого следует, что любая горизонтальная прямая, пересекающая эти треугольники, пересекает их по равным отрезкам. Если же горизонтальная прямая пересекает параллелограммы $A_1E_1C_1C_2$ и $A_2E_2C_2C_1$ или совпадающие треугольники $C_1D_2C_2$ и $C_1D_1C_2$, то равенство соответствующих отрезков очевидно.

Замечание. Аналогичное утверждение для других равновеликих фигур, вообще говоря, неверно. Примером могут служить круг и квадрат равной площади.
Ответ. Верно