Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1781
2019-01-20 
Из центра симметрии двух равных пересекающихся окружностей проведены два луча, пересекающие окружности в четырех точках, не лежащих на одной прямой. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности.
Решение:
Первое решение. Пусть $A_1$ и $A_2$ - точки, лежащие на первой окружности, а $B_1$ и $B_2$ - точки, лежащие на второй окружности. Обратимся к ситуации, изображенной на рис. (случай, изображенный на рис. рассматривается аналогично).
Пусть точки $A_3, B_3$ и $B_4$ симметричны точкам $B_2, A_1$ и $A_2$ соответственно относительно точки $O$. По теореме о пересекающихся хордах $B_3O \cdot OB_1 = B_2O \cdot OB_4$, откуда $OA_1 \cdot OB_1 = OB_2 \cdot OA_2,$ так как $B_3O = OA_1$ и $OB_4 = OA_2$. Это и означает, что точки $A_1, B_1, B_2$ и $A_2$ лежат на одной окружности.
Второе решение. В случае, показанном на рис., $\breve{B_2B_3} = \breve{A_1A_3}$ в силу симметрии этих дуг относительно точки $O$. Поэтому $\angle A_3A_2A_1 = \angle B_3B_1B_2$, т. е. отрезок $A_1B_2$ виден из точек $B_1$ и $A_2$ под одинаковым углом, следовательно, точки $A_1, A_2, B_1$ и $B_2$ лежат на одной окружности.
В случае, изображенном на рис., $\breve{B_2B_3} = \breve{A_1A_3}, \angle A_3A_2A_1 = \angle B_3B_1B_2,$ но $\angle A_1A_2B_2 = 180^{\circ} - \angle A_3A_2A_1$, поэтому $\angle B_3B_1B_2 + \angle A_1A_2B_2 = 180^{\circ}$.
Из центра симметрии двух равных пересекающихся окружностей проведены два луча, пересекающие окружности в четырех точках, не лежащих на одной прямой. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности.
Решение:
Первое решение. Пусть $A_1$ и $A_2$ - точки, лежащие на первой окружности, а $B_1$ и $B_2$ - точки, лежащие на второй окружности. Обратимся к ситуации, изображенной на рис. (случай, изображенный на рис. рассматривается аналогично).
Пусть точки $A_3, B_3$ и $B_4$ симметричны точкам $B_2, A_1$ и $A_2$ соответственно относительно точки $O$. По теореме о пересекающихся хордах $B_3O \cdot OB_1 = B_2O \cdot OB_4$, откуда $OA_1 \cdot OB_1 = OB_2 \cdot OA_2,$ так как $B_3O = OA_1$ и $OB_4 = OA_2$. Это и означает, что точки $A_1, B_1, B_2$ и $A_2$ лежат на одной окружности.
Второе решение. В случае, показанном на рис., $\breve{B_2B_3} = \breve{A_1A_3}$ в силу симметрии этих дуг относительно точки $O$. Поэтому $\angle A_3A_2A_1 = \angle B_3B_1B_2$, т. е. отрезок $A_1B_2$ виден из точек $B_1$ и $A_2$ под одинаковым углом, следовательно, точки $A_1, A_2, B_1$ и $B_2$ лежат на одной окружности.
В случае, изображенном на рис., $\breve{B_2B_3} = \breve{A_1A_3}, \angle A_3A_2A_1 = \angle B_3B_1B_2,$ но $\angle A_1A_2B_2 = 180^{\circ} - \angle A_3A_2A_1$, поэтому $\angle B_3B_1B_2 + \angle A_1A_2B_2 = 180^{\circ}$.
