Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1780
2019-01-20 
Длины сторон треугольника - простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.
Решение:
Пусть длины сторон треугольника равны $a, b, c$. Из формулы Герона имеем:
$16S^2 = P(P - 2a)(P - 2b)(P - 2c)$, (1)
где $S$ - площадь, а $P = a + b + c$ - периметр треугольника. Допустим, что $S$ - целое число. Тогда из (1) следует, что $P$ - четное число (если $P$ - нечетно, то правая часть (1) также нечетна). Следовательно, либо числа $a, b, c$ - четные, либо среди них одно четное и два нечетных. В первом случае, так как $а, b, с$ - простые числа, $а = b = с = 2$, и площадь треугольника равна $\sqrt{3}$, т. е. нецелая. Во втором случае будем считать, что $a = 2$ ,а $b$ и $c$ - нечетные простые числа. Если $b \neq c$, то $|b - c| \geq 2$, и неравенство треугольника не выполнено. Следовательно, $b = c$. Из (1) получаем, что $S^2 = b^2 - 1$, или $(b - S)(b + S) = 1$, что невозможно для натуральных $b$ и $S$. Итак, оба случая невозможны, т. е. $S$ не может быть целым числом.
Длины сторон треугольника - простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.
Решение:
Пусть длины сторон треугольника равны $a, b, c$. Из формулы Герона имеем:
$16S^2 = P(P - 2a)(P - 2b)(P - 2c)$, (1)
где $S$ - площадь, а $P = a + b + c$ - периметр треугольника. Допустим, что $S$ - целое число. Тогда из (1) следует, что $P$ - четное число (если $P$ - нечетно, то правая часть (1) также нечетна). Следовательно, либо числа $a, b, c$ - четные, либо среди них одно четное и два нечетных. В первом случае, так как $а, b, с$ - простые числа, $а = b = с = 2$, и площадь треугольника равна $\sqrt{3}$, т. е. нецелая. Во втором случае будем считать, что $a = 2$ ,а $b$ и $c$ - нечетные простые числа. Если $b \neq c$, то $|b - c| \geq 2$, и неравенство треугольника не выполнено. Следовательно, $b = c$. Из (1) получаем, что $S^2 = b^2 - 1$, или $(b - S)(b + S) = 1$, что невозможно для натуральных $b$ и $S$. Итак, оба случая невозможны, т. е. $S$ не может быть целым числом.
