2014-06-07
Доказать, что если заданы положительные числа $a, b, c \in \mathbf{R}$ и для каждого значения $n \in \mathbf{N}$ существует треугольник со сторонами $a^{n}, b^{n}, c^{n}$ соответственно, то все эти треугольники равнобедренные.
Решение:
Без ограничения общности можно считать, что $a \leq b \leq c$. Если $c > b$, то
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{b^{n}}{c^{n}} = 0, \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n}}{c^{n}} = 0$
и при достаточно больших значениях $n \in \mathbf{N}$ не выполняется неравенство $a^{n}+ b^{n} > с^{n}$, необходимое для существования треугольника со сторонами $a^{n},b^{n},c^{n}$. Следовательно, $b=c$ и все треугольники равнобедренные.