ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-01-20   
Внутри окружности расположен выпуклый четырехугольник, продолжения сторон которого пересекают ее в точках $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2, D_1$ и $D_2$ (рис.). Докажите, что если $A_1B_2 = B_1C_2 = C_1D_2 = D_1A_2$, то четырехугольник, образованный прямыми $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2, D_1D_2$, можно вписать в окружность.



Решение:



Пусть величины двух противоположных углов четырехугольников, образованного прямыми $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ и $D_1D_2$, равны $\alpha$ и $\beta$ (см. рис.). Нам достаточно показать, что $\alpha + \beta = \pi$. Так как хорды $A_1B_2, B_1C_2, C_1D_2$ и $D_1A_2$ равны, то равны и угловые величины дуг $A_1D_1B_2, B_1A_1C_2, C_1B_1D_2, D_1C_1A_2$, которые мы обозначим через $\gamma$. Тогда по теореме о величине угла с вершиной вне круга

$2 \alpha = \breve{A_1D_1B_2} - \breve{A_2B_1} = \gamma - \breve{A_2B_1}$,
$2 \beta = \breve{C_1B_1D_2} - \breve{C_2D_1} = \gamma - \breve{C_2D_1}$.

Сложив эти равенства, получим, что

$2\alpha + 2\beta = 2\gamma - \breve{A_2B_1} - \breve{C_2D_1} = 2\gamma - (\breve{B_1A_1C_2} + \breve{D_1C_1A_2} - 2\pi) = 2\pi$,

следовательно, $\alpha + \beta = \pi$.