Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1776
2019-01-20 
Целые числа $x, y$ и $z$ таковы, что $(x - y)(y - z)( z - x) = x + y + z$. Докажите, что число $x + y + z$ делится на 27.
Решение:
Докажем, что числа $x, y$ и $z$ дают одинаковые остатки при делении на 3. Тогда из условия будет следовать, что число $x + y + z$ делится на 27.
Если числа $x, у$ и $z$ дают различные остатки при делении на три, то число $(x - y)(y - z)(z - x)$ не делится на 3, а число $x + y + z$, наоборот, делится на 3. Следовательно, по крайней мере, два из трех чисел $x, у, z$ дают одинаковые остатки при делении на 3. Но тогда число $x + y + z = (x - y)(y - z)(z - x)$ делится на 3, а для этого необходимо, чтобы и третье число давало тот же остаток при делении на 3, что и первые два числа.
Целые числа $x, y$ и $z$ таковы, что $(x - y)(y - z)( z - x) = x + y + z$. Докажите, что число $x + y + z$ делится на 27.
Решение:
Докажем, что числа $x, y$ и $z$ дают одинаковые остатки при делении на 3. Тогда из условия будет следовать, что число $x + y + z$ делится на 27.
Если числа $x, у$ и $z$ дают различные остатки при делении на три, то число $(x - y)(y - z)(z - x)$ не делится на 3, а число $x + y + z$, наоборот, делится на 3. Следовательно, по крайней мере, два из трех чисел $x, у, z$ дают одинаковые остатки при делении на 3. Но тогда число $x + y + z = (x - y)(y - z)(z - x)$ делится на 3, а для этого необходимо, чтобы и третье число давало тот же остаток при делении на 3, что и первые два числа.
