Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1775
2019-01-20 
В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины - его сын, а справа - его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?
Решение:
Назовем десятерых мужчин, стоящих в центре фотографий, главными лицами. Разделим всех мужчин на фотографиях на уровни. К уровню $0$ отнесем тех, кто не имеет отцов на фотографиях, к уровню $k + 1$ при $k = 0, 1, 2, \cdots$ отнесем мужчин, имеющих на фотографиях отцов, отнесенных к уровню $k$. Обозначим через $t_k$ число главных лиц уровня $k$, а через $t_k$ - число всех остальных мужчин уровня $k$. Число отцов мужчин уровня $k +1$ не больше, чем $\frac{1}{2} r_{к+1} + t_{k+1}$, так как каждое главное лицо имеет брата. Действительно, пусть каждое главное лицо отдаст отцу полрубля, а неглавное - рубль; тогда у любого отца скопится не менее рубля. В то же время, отцов мужчин уровня $k + 1$ не меньше $r_k$, так как каждое главное лицо имеет сына. Следовательно, $r_к \leq \frac{1}{2} r_{к+1} + t_{k+1}, к = 0, 1, 2, \cdots $. Заметим также, что $1 \leq \frac{1}{2}r_0 + t_0$. Складывая все полученные неравенства, найдем,
что
$\frac{1}{2} (r_0 + r_i + \cdots) + (t_0 + t_i + \cdots) \geq \frac{3}{2} (r_0 + r_1 + \cdots) + 1$,
откуда
$(r_0 + r_1 + \cdots) + (t_0 + t_1 + \cdots) \geq \frac{3}{2} (r_0 + r_1 + \cdots) + 1 = \frac{3}{2} \cdot 10 + 1 = 16$.
Итак, на фотографиях изображено не менее 16 мужчин. На рис. схематично представлены фотографии 16 мужчин с 10 главными лицами (пронумерованы от 1 до 10).
Горизонтальные линии соединяют братьев, остальные линии ведут (сверху вниз) от отца к сыну.
Фотографии: $(3, 1, 2); (5, 2, 1); (7, 3, 4); (9, 4, 3); (11, 5, 6); (12, 6, 5); (13, 7, 8); (14, 8, 7); (15, 9, 10)$ и $(16, 10,9)$.
Ответ. 16.
В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины - его сын, а справа - его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?
Решение:
Назовем десятерых мужчин, стоящих в центре фотографий, главными лицами. Разделим всех мужчин на фотографиях на уровни. К уровню $0$ отнесем тех, кто не имеет отцов на фотографиях, к уровню $k + 1$ при $k = 0, 1, 2, \cdots$ отнесем мужчин, имеющих на фотографиях отцов, отнесенных к уровню $k$. Обозначим через $t_k$ число главных лиц уровня $k$, а через $t_k$ - число всех остальных мужчин уровня $k$. Число отцов мужчин уровня $k +1$ не больше, чем $\frac{1}{2} r_{к+1} + t_{k+1}$, так как каждое главное лицо имеет брата. Действительно, пусть каждое главное лицо отдаст отцу полрубля, а неглавное - рубль; тогда у любого отца скопится не менее рубля. В то же время, отцов мужчин уровня $k + 1$ не меньше $r_k$, так как каждое главное лицо имеет сына. Следовательно, $r_к \leq \frac{1}{2} r_{к+1} + t_{k+1}, к = 0, 1, 2, \cdots $. Заметим также, что $1 \leq \frac{1}{2}r_0 + t_0$. Складывая все полученные неравенства, найдем,
что
$\frac{1}{2} (r_0 + r_i + \cdots) + (t_0 + t_i + \cdots) \geq \frac{3}{2} (r_0 + r_1 + \cdots) + 1$,
откуда
$(r_0 + r_1 + \cdots) + (t_0 + t_1 + \cdots) \geq \frac{3}{2} (r_0 + r_1 + \cdots) + 1 = \frac{3}{2} \cdot 10 + 1 = 16$.
Итак, на фотографиях изображено не менее 16 мужчин. На рис. схематично представлены фотографии 16 мужчин с 10 главными лицами (пронумерованы от 1 до 10).
Горизонтальные линии соединяют братьев, остальные линии ведут (сверху вниз) от отца к сыну.
Фотографии: $(3, 1, 2); (5, 2, 1); (7, 3, 4); (9, 4, 3); (11, 5, 6); (12, 6, 5); (13, 7, 8); (14, 8, 7); (15, 9, 10)$ и $(16, 10,9)$.
Ответ. 16.
