Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1774
2019-01-20 
Квадратный трехчлен $f(x)$ разрешается заменить на один из трехчленов $x^{2}f(\frac{1}{x}+1)$ или $(x-1)^{2}f(\frac{1}{x-1})$. Можно ли с помощью таких операций из квадратного трехчлена $x^2 + 4x + 3$ получить трехчлен $x^2 + 10x + 9$?
Решение:
Первое решение. Пусть $f(x) = Ax^2 + Bx + C$, его дискриминант равен $B^2 - 4AC$. В результате выполнения первой операции $f(x)$ меняется на трехчлен $(A+B + C)x^2 + (B + 2A)x+A$ с дискриминантом $(B + 2A)^2 - 4(A + B + C) \cdot A = B^2 + 4AB + 4A^2 - 4A^2 - 4BA - 4CA = B^2 - 4AC$, а в результате выполнения второй операции - на трехчлен $Cx^2 + (B - 2C)x + (A - B + C)$ с дискриминантом $(B - 2C)^2 - 4C(A - B + С) = B^2 - 4BC + 4C^2 - 4CA + 4CB - 4C^2 = B^2 - 4AC$. Следовательно, при выполнении разрешенных операций дискриминант сохраняется. Но у трехчлена $x^2 + 4x + 3$ дискриминант равен $16 - 4 \cdot 3 = 4$, а у трехчлена $x^2 + 10x + 9$ он равен $100 - 4 \cdot 9 = 64$, следовательно, получить из первого квадратного трехчлена второй невозможно.
Второе решение. Положим $\varphi = \frac { \sqrt{5} +1}{2}$. Тогда $\varphi = \frac{1}{\varphi} + 1, \varphi = \frac{1}{\varphi - 1}, \varphi - 1 = \frac{1}{\varphi}$. Поэтому при выполнении разрешенных операций значение трехчлена в точке $\varphi$ умножается или делится на $\varphi^2$. Осталось заметить, что такими преобразованиями $\varphi^2 + 4\varphi + 3$ не переводится в $\varphi^2 + 10\varphi + 9$ (достаточно проследить за ростом модуля этого значения).
Замечание. Еще одно решение можно получить, заметив, что данные преобразования взаимно обратны, т. е. их композиция тождественна.
Ответ. Нельзя.
Квадратный трехчлен $f(x)$ разрешается заменить на один из трехчленов $x^{2}f(\frac{1}{x}+1)$ или $(x-1)^{2}f(\frac{1}{x-1})$. Можно ли с помощью таких операций из квадратного трехчлена $x^2 + 4x + 3$ получить трехчлен $x^2 + 10x + 9$?
Решение:
Первое решение. Пусть $f(x) = Ax^2 + Bx + C$, его дискриминант равен $B^2 - 4AC$. В результате выполнения первой операции $f(x)$ меняется на трехчлен $(A+B + C)x^2 + (B + 2A)x+A$ с дискриминантом $(B + 2A)^2 - 4(A + B + C) \cdot A = B^2 + 4AB + 4A^2 - 4A^2 - 4BA - 4CA = B^2 - 4AC$, а в результате выполнения второй операции - на трехчлен $Cx^2 + (B - 2C)x + (A - B + C)$ с дискриминантом $(B - 2C)^2 - 4C(A - B + С) = B^2 - 4BC + 4C^2 - 4CA + 4CB - 4C^2 = B^2 - 4AC$. Следовательно, при выполнении разрешенных операций дискриминант сохраняется. Но у трехчлена $x^2 + 4x + 3$ дискриминант равен $16 - 4 \cdot 3 = 4$, а у трехчлена $x^2 + 10x + 9$ он равен $100 - 4 \cdot 9 = 64$, следовательно, получить из первого квадратного трехчлена второй невозможно.
Второе решение. Положим $\varphi = \frac { \sqrt{5} +1}{2}$. Тогда $\varphi = \frac{1}{\varphi} + 1, \varphi = \frac{1}{\varphi - 1}, \varphi - 1 = \frac{1}{\varphi}$. Поэтому при выполнении разрешенных операций значение трехчлена в точке $\varphi$ умножается или делится на $\varphi^2$. Осталось заметить, что такими преобразованиями $\varphi^2 + 4\varphi + 3$ не переводится в $\varphi^2 + 10\varphi + 9$ (достаточно проследить за ростом модуля этого значения).
Замечание. Еще одно решение можно получить, заметив, что данные преобразования взаимно обратны, т. е. их композиция тождественна.
Ответ. Нельзя.
