Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1772
2019-01-20 
Натуральное число $n$ таково, что числа $2n +1$ и $3n +1$ являются квадратами. Может ли при этом число $5n + 3$ быть простым?
Решение:
Если $2n +1 = k^2, 3n +1 = m^2,$ то число $5n + 3 = 4(2n +1) - (3n + 1) = 4k^2 - m^2 = (2k + m)(2k - m)$ является составным, поскольку $2k - m \neq 1$ (в противном случае $5n + 3 = 2m +1$ и $(m - 1)^2 = m^2 - (2m + 1) + 2 = (3n +1) - (5n + 3) + 2 = -2n < 0$, что невозможно).
Ответ. Не может.
Натуральное число $n$ таково, что числа $2n +1$ и $3n +1$ являются квадратами. Может ли при этом число $5n + 3$ быть простым?
Решение:
Если $2n +1 = k^2, 3n +1 = m^2,$ то число $5n + 3 = 4(2n +1) - (3n + 1) = 4k^2 - m^2 = (2k + m)(2k - m)$ является составным, поскольку $2k - m \neq 1$ (в противном случае $5n + 3 = 2m +1$ и $(m - 1)^2 = m^2 - (2m + 1) + 2 = (3n +1) - (5n + 3) + 2 = -2n < 0$, что невозможно).
Ответ. Не может.
