Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1770
2019-01-20 
Докажите, что если натуральное число $N$ представляется в виде суммы трех квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трех квадратов целых чисел, не делящихся на 3.
Решение:
Из условия следует, что число $N$ можно представить в виде
$9^n(a^2 + b^2 + с^2)$, (*)
где $n \in \mathbb{N}, a, b, c \in \mathbb{Z}$, a не делится на 3.
Лемма. Всякое число вида (*) можно представить в виде $9^{n-1}(x^2 + y^2 + z^2),$ где $x, y, z \in \mathbb{N}, x, y, z$ не делятся на 3.
Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что $a + b + с$ не делится на 3 (иначе число $a$ можно заменить на $-a$). Имеем: $9(a^2 + b^2 + с^2) = (4a^2 + 4b^2 + c^2) + (4b^2 + 4c^2 + a^2) + (4c^2 + 4a^2 + b^2) = (2a + 2b - c)^2 + (2b +2c - a)^2 + (2c +2a - b)^2$.
Каждое из чисел $2a + 2b - c, 2b + 2c - a, 2c + 2a - b$ сравнимо по модулю 3 с не делящимся на 3 числом $2(a + b + c)$. Значит, эти числа тоже не делятся на 3. Лемма доказана.
Для завершения решения осталось применить эту лемму $n$ раз.
Докажите, что если натуральное число $N$ представляется в виде суммы трех квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трех квадратов целых чисел, не делящихся на 3.
Решение:
Из условия следует, что число $N$ можно представить в виде
$9^n(a^2 + b^2 + с^2)$, (*)
где $n \in \mathbb{N}, a, b, c \in \mathbb{Z}$, a не делится на 3.
Лемма. Всякое число вида (*) можно представить в виде $9^{n-1}(x^2 + y^2 + z^2),$ где $x, y, z \in \mathbb{N}, x, y, z$ не делятся на 3.
Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что $a + b + с$ не делится на 3 (иначе число $a$ можно заменить на $-a$). Имеем: $9(a^2 + b^2 + с^2) = (4a^2 + 4b^2 + c^2) + (4b^2 + 4c^2 + a^2) + (4c^2 + 4a^2 + b^2) = (2a + 2b - c)^2 + (2b +2c - a)^2 + (2c +2a - b)^2$.
Каждое из чисел $2a + 2b - c, 2b + 2c - a, 2c + 2a - b$ сравнимо по модулю 3 с не делящимся на 3 числом $2(a + b + c)$. Значит, эти числа тоже не делятся на 3. Лемма доказана.
Для завершения решения осталось применить эту лемму $n$ раз.
