Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1769
2019-01-20 
В тетраэдре $ABCD$ из вершины $A$ опустили перпендикуляры $A{B}^{ \prime} ,A{C}^{ \prime} , A{D}^{ \prime} $ на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах $CD, BD, BC$ пополам. Докажите, что плоскость $({B}^{ \prime} {C}^{ \prime} {D}^{ \prime} )$ параллельна плоскости $(BCD)$.
Решение:
Продолжим отрезок $AB^{\prime}$ до пересечения с плоскостью $BCD$ в точке $В^{\prime \prime}$. Так как плоскости $(BCD)$ и $(ACD)$ симметричны относительно биссекторной плоскости, то $AB^{\prime} = B^{\prime}B^{\prime \prime}$. Аналогично по точкам $C^{\prime}$ и $D^{\prime}$ строим точки $C^{\prime \prime}$ и $D^{\prime \prime}$.
При гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $ \frac {1}{2}$ плоскость $(B^{\prime \prime}C^{ \prime \prime}D^{\prime \prime})$ переходит в плоскость $(B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime})$, поэтому $(B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}) \parallel (B^{\prime \prime}C^{\prime \prime}D^{\prime \prime}) = (BCD)$, что и требовалось доказать.
В тетраэдре $ABCD$ из вершины $A$ опустили перпендикуляры $A{B}^{ \prime} ,A{C}^{ \prime} , A{D}^{ \prime} $ на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах $CD, BD, BC$ пополам. Докажите, что плоскость $({B}^{ \prime} {C}^{ \prime} {D}^{ \prime} )$ параллельна плоскости $(BCD)$.
Решение:
Продолжим отрезок $AB^{\prime}$ до пересечения с плоскостью $BCD$ в точке $В^{\prime \prime}$. Так как плоскости $(BCD)$ и $(ACD)$ симметричны относительно биссекторной плоскости, то $AB^{\prime} = B^{\prime}B^{\prime \prime}$. Аналогично по точкам $C^{\prime}$ и $D^{\prime}$ строим точки $C^{\prime \prime}$ и $D^{\prime \prime}$.
При гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $ \frac {1}{2}$ плоскость $(B^{\prime \prime}C^{ \prime \prime}D^{\prime \prime})$ переходит в плоскость $(B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime})$, поэтому $(B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}) \parallel (B^{\prime \prime}C^{\prime \prime}D^{\prime \prime}) = (BCD)$, что и требовалось доказать.
