Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1767
2019-01-20 
В гоночном турнире 12 этапов и $n$ участников. После каждого этапа все участники в зависимости от занятого места $k$ получают баллы $a_k$ (числа $a_k$ натуральны и $a_1 > a_2 > \cdots > a_n$). При каком наименьшем $n$ устроитель турнира может выбрать числа $a_1, \cdots, a_n$ так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.
Решение:
Предположим, что участников не больше 12. Пусть при этом один из участников (назовем его $A$) выиграл все 11 этапов, а каждый из оставшихся хотя бы раз занял последнее место. Тогда участник $A$ после 12 этапов наберет не меньше $11a_1 + a_n$ очков, а каждый из оставшихся - не больше $a_n + 10a_2 + a_1$ очков (поскольку каждый из оставшихся занимал последнее место на одном из этапов и мог быть первым только на 12 этапе), что меньше, чем $11a_1 + а_n$. Следовательно, только $A$ может занять первое место. Поэтому для выполнения условия количество участников должно быть не менее 13.
Пусть участников 13, тогда устроителю достаточно выбрать числа $a_1 = 1011, a_2 = 1010, \cdots, a_{12} = 1000, a_{13} = 1$. Рассмотрим участника, набравшего наибольшее количество очков после 11 этапов (назовем его $A$). Тогда среди 12 оставшихся найдется по крайней мере один участник, который не занимал последнего места ни на одном из этапов (назовем его $B$). Заметим, что $A$ набрал не более $1011 \cdot 11 = 11121$ очков, а $B$ не менее $1000 \cdot 11 = 11000$ очков. То есть после 11 этапов $A$ опережает $B$ не более чем на 121 очко. Очевидно, что после 11 этапа $A$ имеет шансы занять первое место. Однако, если на 12 этапе $A$ займет последнее место, то $B$ наберет на 12 этапе хотя бы на 999 очков больше, чем $A$ и обгонит его. То есть $A$ будет не первым. Это и означает, что еще какой-то участник после 11 этапа имеет шансы занять первое место.
Ответ. 13.
В гоночном турнире 12 этапов и $n$ участников. После каждого этапа все участники в зависимости от занятого места $k$ получают баллы $a_k$ (числа $a_k$ натуральны и $a_1 > a_2 > \cdots > a_n$). При каком наименьшем $n$ устроитель турнира может выбрать числа $a_1, \cdots, a_n$ так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.
Решение:
Предположим, что участников не больше 12. Пусть при этом один из участников (назовем его $A$) выиграл все 11 этапов, а каждый из оставшихся хотя бы раз занял последнее место. Тогда участник $A$ после 12 этапов наберет не меньше $11a_1 + a_n$ очков, а каждый из оставшихся - не больше $a_n + 10a_2 + a_1$ очков (поскольку каждый из оставшихся занимал последнее место на одном из этапов и мог быть первым только на 12 этапе), что меньше, чем $11a_1 + а_n$. Следовательно, только $A$ может занять первое место. Поэтому для выполнения условия количество участников должно быть не менее 13.
Пусть участников 13, тогда устроителю достаточно выбрать числа $a_1 = 1011, a_2 = 1010, \cdots, a_{12} = 1000, a_{13} = 1$. Рассмотрим участника, набравшего наибольшее количество очков после 11 этапов (назовем его $A$). Тогда среди 12 оставшихся найдется по крайней мере один участник, который не занимал последнего места ни на одном из этапов (назовем его $B$). Заметим, что $A$ набрал не более $1011 \cdot 11 = 11121$ очков, а $B$ не менее $1000 \cdot 11 = 11000$ очков. То есть после 11 этапов $A$ опережает $B$ не более чем на 121 очко. Очевидно, что после 11 этапа $A$ имеет шансы занять первое место. Однако, если на 12 этапе $A$ займет последнее место, то $B$ наберет на 12 этапе хотя бы на 999 очков больше, чем $A$ и обгонит его. То есть $A$ будет не первым. Это и означает, что еще какой-то участник после 11 этапа имеет шансы занять первое место.
Ответ. 13.
