Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1766
2019-01-20 
Произведение квадратных трехчленов $x^2 + a_1x + b_1, x^2 + a_2x + b_2,\cdots, x^2 + a_nx + b_n$ равно многочлену $P(x) = x^{2n} + c_1x^{2n-1} + c_2x^{2n-2} +\cdots + c_{2n-1}x + c_{2n}$, где коэффициенты $c_1,c_2,\cdots, c_{2n}$ положительны. Докажите, что для некоторого $k (1 \leq k \leq n)$ коэффициенты $a_k$ и $b_k$ положительны.
Решение:
Заметим, что $P(x) > 0$ при $x \geq 0$, поэтому $P(x)$ не имеет неотрицательных корней. Если при некотором $k$ выполнено $b_k \leq 0$, то трехчлен $x^2 + a_kx + b_k$ имеет неотрицательный корень. Таким образом, $b_k > 0$ для всех $k$.
Далее, $c_1 = a_1 + a_2 + \cdots + a_n > 0$, поэтому $a_k > 0$ хотя бы при одном $k$.
Произведение квадратных трехчленов $x^2 + a_1x + b_1, x^2 + a_2x + b_2,\cdots, x^2 + a_nx + b_n$ равно многочлену $P(x) = x^{2n} + c_1x^{2n-1} + c_2x^{2n-2} +\cdots + c_{2n-1}x + c_{2n}$, где коэффициенты $c_1,c_2,\cdots, c_{2n}$ положительны. Докажите, что для некоторого $k (1 \leq k \leq n)$ коэффициенты $a_k$ и $b_k$ положительны.
Решение:
Заметим, что $P(x) > 0$ при $x \geq 0$, поэтому $P(x)$ не имеет неотрицательных корней. Если при некотором $k$ выполнено $b_k \leq 0$, то трехчлен $x^2 + a_kx + b_k$ имеет неотрицательный корень. Таким образом, $b_k > 0$ для всех $k$.
Далее, $c_1 = a_1 + a_2 + \cdots + a_n > 0$, поэтому $a_k > 0$ хотя бы при одном $k$.
