Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1765
2019-01-20 
У выпуклого многогранника $2n$ граней $(n \geq 3)$, и все грани являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?
Решение:
Назовем вершину, в которой сходится ровно 3 ребра, хорошей.
Докажем, что никакие две хорошие вершины не лежат в одной грани. Предположим противное - пусть хорошие вершины $A$ и $B$ лежат в одной грани $ABC$. Ребро $AB$ принадлежит еще одной грани $ABD$. Поскольку вершина $A$ - хорошая, то кроме $AB, AC, AD$ нет других ребер, выходящих из $A$. В вершине $A$ сходятся ровно 3 грани - $ABC, ABD$ и грань, содержащая ребра $AC$ и $AD$, т. е. грань $ACD$. Аналогично получаем, что $BCD$ является гранью многогранника. Получается, что многогранник является тетраэдром $ABCD$, что противоречит условию $n \geq 3$.
Из доказанного следует, что каждой хорошей вершине можно сопоставить три грани, сходящиеся в ней, причем различным хорошим вершинам сопоставлены разные грани. Отсюда следует, что количество хороших вершин не превосходит $\frac{2n}{3}$. Опишем построение выпуклого $2n$-гранника, для которого количество хороших вершин равно $\left [ \frac{2n}{3} \right ]$.
Определим вначале процедуру наращивания грани многогранника $T$ с треугольными гранями. Пусть $KLM$ - одна из граней, $KLP, LMQ, MKR$ - грани, отличные от $KLM$, содержащие соответственно ребра $KL, LM, MK$ (точки $P, Q, R$ не обязательно различны) (см.рис.). Пусть $X$ - некоторая внутренняя точка треугольника $KLM$. На перпендикуляре к плоскости $KLM$, восставленном в точке $X$, вне многогранника $T$ выберем такую точку $N$, что точки $K$ и $N$ лежат по одну сторону от плоскости $LMQ, L$ и $N$ - по одну сторону от $MKR, M$ и $N$ - по одну сторону от $KLP$ (этого можно добиться, выбирая длину $XN$ достаточно малой). Рассмотрим многогранник $T^{\prime}$, получаемый добавлением к $T$ пирамиды $KLMN$. По построению многогранник $T^{\prime}$ - выпуклый. Будем говорить, что $T^{\prime}$ получен из $T$ наращиванием грани $KLM$.
Если $n = 3$, то нарастив одну из граней тетраэдра, получим пример шестигранника с двумя хорошими вершинами.
Пусть $n \geq 4$. В зависимости от остатка при делении на 3, представим $n$ в виде $n = 3k, n = 3k - 1$ или $n = 3k - 2$ для некоторого натурального $k \geq 2$. Рассмотрим тетраэдр и нарастим некоторую его грань; у полученного многогранника нарастим еще одну грань; и т. д. При каждой операции количество граней увеличивается на 2, поэтому через $(k - 2)$ операции мы получим выпуклый $2k$-гранник, все грани которого треугольные. Отметим $n - k$ граней этого многогранника и последовательно их нарастим. При этом образуется $n - k =\left [ \frac{2n}{3} \right ]$ новых вершин, и каждая из них является хорошей.
Ответ. $[\frac{2n}{3}]$.
У выпуклого многогранника $2n$ граней $(n \geq 3)$, и все грани являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?
Решение:
Назовем вершину, в которой сходится ровно 3 ребра, хорошей.
Докажем, что никакие две хорошие вершины не лежат в одной грани. Предположим противное - пусть хорошие вершины $A$ и $B$ лежат в одной грани $ABC$. Ребро $AB$ принадлежит еще одной грани $ABD$. Поскольку вершина $A$ - хорошая, то кроме $AB, AC, AD$ нет других ребер, выходящих из $A$. В вершине $A$ сходятся ровно 3 грани - $ABC, ABD$ и грань, содержащая ребра $AC$ и $AD$, т. е. грань $ACD$. Аналогично получаем, что $BCD$ является гранью многогранника. Получается, что многогранник является тетраэдром $ABCD$, что противоречит условию $n \geq 3$.
Из доказанного следует, что каждой хорошей вершине можно сопоставить три грани, сходящиеся в ней, причем различным хорошим вершинам сопоставлены разные грани. Отсюда следует, что количество хороших вершин не превосходит $\frac{2n}{3}$. Опишем построение выпуклого $2n$-гранника, для которого количество хороших вершин равно $\left [ \frac{2n}{3} \right ]$.
Определим вначале процедуру наращивания грани многогранника $T$ с треугольными гранями. Пусть $KLM$ - одна из граней, $KLP, LMQ, MKR$ - грани, отличные от $KLM$, содержащие соответственно ребра $KL, LM, MK$ (точки $P, Q, R$ не обязательно различны) (см.рис.). Пусть $X$ - некоторая внутренняя точка треугольника $KLM$. На перпендикуляре к плоскости $KLM$, восставленном в точке $X$, вне многогранника $T$ выберем такую точку $N$, что точки $K$ и $N$ лежат по одну сторону от плоскости $LMQ, L$ и $N$ - по одну сторону от $MKR, M$ и $N$ - по одну сторону от $KLP$ (этого можно добиться, выбирая длину $XN$ достаточно малой). Рассмотрим многогранник $T^{\prime}$, получаемый добавлением к $T$ пирамиды $KLMN$. По построению многогранник $T^{\prime}$ - выпуклый. Будем говорить, что $T^{\prime}$ получен из $T$ наращиванием грани $KLM$.
Если $n = 3$, то нарастив одну из граней тетраэдра, получим пример шестигранника с двумя хорошими вершинами.
Пусть $n \geq 4$. В зависимости от остатка при делении на 3, представим $n$ в виде $n = 3k, n = 3k - 1$ или $n = 3k - 2$ для некоторого натурального $k \geq 2$. Рассмотрим тетраэдр и нарастим некоторую его грань; у полученного многогранника нарастим еще одну грань; и т. д. При каждой операции количество граней увеличивается на 2, поэтому через $(k - 2)$ операции мы получим выпуклый $2k$-гранник, все грани которого треугольные. Отметим $n - k$ граней этого многогранника и последовательно их нарастим. При этом образуется $n - k =\left [ \frac{2n}{3} \right ]$ новых вершин, и каждая из них является хорошей.
Ответ. $[\frac{2n}{3}]$.
