Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1764
2019-01-20 
При каких натуральных $n$ найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа $а$ и $b$, что оба числа $а + b$ и $a^n + b^n$ - целые?
Решение:
Если $n$ нечетно, то положим $а = \frac{1}{2}, b = \frac{2^n - 1}{2}$. Тогда $а + b$ целое, и $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \cdots + b^{n-1}) = 2^{n-1}(a^{n-1} - a^{n-2}b + \cdots + b^{n-1})$; знаменатель дроби в скобках равен $2^{n-1}$, поэтому число $a^n+b^n$ также целое.
Пусть $n$ четное, $n = 2k$. Предположим, что требуемые числа $a, b$ нашлись. Так как их сумма целая, то знаменатели в их несократимой записи равны, т. е. их несократимая запись такова: $а = \frac{p}{d}, b = \frac{q}{d}$ при этом $р + q$ кратно $d$. Тогда $p^n+q^n = (p^{2k} - q^{2k}) + 2q^{2k} = (p^2 - q^2)(p^{2k-2} +p^{2k-4}q^2 +\cdots + q^{2k-2}) + 2q^{2k} = (p + q)K + 2q^{2k}$,
где $K = (p - q)(p^{n-2} + p^{n-4}q^2 +\cdots +q^{n-2})$ - целое число. Заметим, что $а^n + b^n = \frac{p^n + q^n}{d^n}$ - целое, т.е. $p^n + q^n$ делится на $d^n$; в частности, оно делится на $d$. А так как $p + q$ делится на $d$, то и $2q^n$ должно делиться на $d$. Поскольку дробь $\frac{q}{d}$ несократима, то 2 делится на $d$, т. е. $d = 2$.
Но тогда $p^n$ и $q^n$ - квадраты нечетных чисел, следовательно, дают остаток 1 при делении на 4. Поэтому $p^n + q^n$ не делится на 4, а должно делиться на $2^{2k}$, которое кратно 4. Противоречие.
Ответ. При всех нечетных $n$.
При каких натуральных $n$ найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа $а$ и $b$, что оба числа $а + b$ и $a^n + b^n$ - целые?
Решение:
Если $n$ нечетно, то положим $а = \frac{1}{2}, b = \frac{2^n - 1}{2}$. Тогда $а + b$ целое, и $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \cdots + b^{n-1}) = 2^{n-1}(a^{n-1} - a^{n-2}b + \cdots + b^{n-1})$; знаменатель дроби в скобках равен $2^{n-1}$, поэтому число $a^n+b^n$ также целое.
Пусть $n$ четное, $n = 2k$. Предположим, что требуемые числа $a, b$ нашлись. Так как их сумма целая, то знаменатели в их несократимой записи равны, т. е. их несократимая запись такова: $а = \frac{p}{d}, b = \frac{q}{d}$ при этом $р + q$ кратно $d$. Тогда $p^n+q^n = (p^{2k} - q^{2k}) + 2q^{2k} = (p^2 - q^2)(p^{2k-2} +p^{2k-4}q^2 +\cdots + q^{2k-2}) + 2q^{2k} = (p + q)K + 2q^{2k}$,
где $K = (p - q)(p^{n-2} + p^{n-4}q^2 +\cdots +q^{n-2})$ - целое число. Заметим, что $а^n + b^n = \frac{p^n + q^n}{d^n}$ - целое, т.е. $p^n + q^n$ делится на $d^n$; в частности, оно делится на $d$. А так как $p + q$ делится на $d$, то и $2q^n$ должно делиться на $d$. Поскольку дробь $\frac{q}{d}$ несократима, то 2 делится на $d$, т. е. $d = 2$.
Но тогда $p^n$ и $q^n$ - квадраты нечетных чисел, следовательно, дают остаток 1 при делении на 4. Поэтому $p^n + q^n$ не делится на 4, а должно делиться на $2^{2k}$, которое кратно 4. Противоречие.
Ответ. При всех нечетных $n$.
