Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1763
2019-01-20 
Через точку пересечения высот остроугольного треугольника $ABC$ проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.
Решение:
Обозначим через $H$ ортоцентр (т. е. точку пересечения высот) $\triangle ABC$, через $H_1, H_2, H_3$ - основания высот на сторонах $BC, CA, AB$ соответственно, а через $A_1, B_1, С_1$ - вторые точки пересечения окружностей.
Так как прямая $BC$ - касательная к окружности, проходящей через $H$ и $H_1$ и $HH_1 \perp BC$, то $HH_1$ - диаметр одной из окружностей, данных в условии. Аналогично для двух других окружностей.
На диаметр в любой окружности опирается прямой угол, поэтому $\angle HC_1H_2 + \angle HC_1H_1 = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$, т. е. $C_1$ лежит на отрезке $H_1H_2$. Аналогично, $A_1 \in H_2H_3$. Точки $B, H2, H3, C$ лежат на окружности с диаметром $BC$, следовательно, $\angle HH_2A_1 = \angle BH_2H_3 - \angle ABC$. Аналогично $\angle HH_2C_1 = 90^{\circ} - \angle ABC$.
Получается, что прямоугольные треугольники $HH_2A_1$ и $HH_2C_1$ равны, а точки $A_1$ и $C_1$ симметричны относительно $HH_2$. Значит, $A_1C_1\perp HH_2$, откуда $A_1C_1 \parallel AC$. Аналогично $B_1C_1 \parallel BC$ и $A_1B_1 \parallel AB$, что и доказывает подобие треугольников.
Через точку пересечения высот остроугольного треугольника $ABC$ проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.
Решение:
Обозначим через $H$ ортоцентр (т. е. точку пересечения высот) $\triangle ABC$, через $H_1, H_2, H_3$ - основания высот на сторонах $BC, CA, AB$ соответственно, а через $A_1, B_1, С_1$ - вторые точки пересечения окружностей.
Так как прямая $BC$ - касательная к окружности, проходящей через $H$ и $H_1$ и $HH_1 \perp BC$, то $HH_1$ - диаметр одной из окружностей, данных в условии. Аналогично для двух других окружностей.
На диаметр в любой окружности опирается прямой угол, поэтому $\angle HC_1H_2 + \angle HC_1H_1 = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$, т. е. $C_1$ лежит на отрезке $H_1H_2$. Аналогично, $A_1 \in H_2H_3$. Точки $B, H2, H3, C$ лежат на окружности с диаметром $BC$, следовательно, $\angle HH_2A_1 = \angle BH_2H_3 - \angle ABC$. Аналогично $\angle HH_2C_1 = 90^{\circ} - \angle ABC$.
Получается, что прямоугольные треугольники $HH_2A_1$ и $HH_2C_1$ равны, а точки $A_1$ и $C_1$ симметричны относительно $HH_2$. Значит, $A_1C_1\perp HH_2$, откуда $A_1C_1 \parallel AC$. Аналогично $B_1C_1 \parallel BC$ и $A_1B_1 \parallel AB$, что и доказывает подобие треугольников.
