Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1762
2019-01-20 
Докажите, что для каждого $x$ такого, что $| \sin nx | \geq 0$, найдется такое натуральное $n$, что $| \sin nx| \geq \frac { \sqrt {3}}{2}$.
Решение:
Поскольку функция «синус» нечетная и имеет период $2 \pi$, можно считать, что $0 < x < \pi$.
Если $\frac{\pi}{3}$, то подойдет $n = 1$.
Если $0 < x < \frac{\pi}{3}$, то, последовательно откладывая углы $x, 2x, \cdots, nx, \cdots$, мы когда-нибудь выйдем из промежутка $(0; \frac{\pi}{3})$; а поскольку «шаг» меньше $\frac{\pi}{3}$, то мы при этом попадем в уже рассмотренный промежуток $[\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$.
Если же $x \in (\frac{2\pi}{3}; \pi)$, то, учитывая равенство $|\sin nx| = |\sin n( \pi - x)|$, этот случай сводится к случаю $x \in (0; \frac{\pi}{3})$.
Докажите, что для каждого $x$ такого, что $| \sin nx | \geq 0$, найдется такое натуральное $n$, что $| \sin nx| \geq \frac { \sqrt {3}}{2}$.
Решение:
Поскольку функция «синус» нечетная и имеет период $2 \pi$, можно считать, что $0 < x < \pi$.
Если $\frac{\pi}{3}$, то подойдет $n = 1$.
Если $0 < x < \frac{\pi}{3}$, то, последовательно откладывая углы $x, 2x, \cdots, nx, \cdots$, мы когда-нибудь выйдем из промежутка $(0; \frac{\pi}{3})$; а поскольку «шаг» меньше $\frac{\pi}{3}$, то мы при этом попадем в уже рассмотренный промежуток $[\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$.
Если же $x \in (\frac{2\pi}{3}; \pi)$, то, учитывая равенство $|\sin nx| = |\sin n( \pi - x)|$, этот случай сводится к случаю $x \in (0; \frac{\pi}{3})$.
