Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1761
2019-01-20 
Даны $n > 1$ приведенных квадратных трехчленов $x^2 - a_1x + b_1,\cdots, x^2 - a_nx + b_n$, причем все $2_n$ чисел $а_1, \cdots, a_n, b_1, \cdots, b_n$ различны. Может ли случиться, что каждое из чисел $а_1, \cdots, a_n, b_1, \cdots, b_n$ является корнем одного из этих трехчленов?
Решение:
Предположим противное. Поскольку все $2n$ коэффициентов различны, то они и составляют все множество корней наших трехчленов, причем у каждого из них два корня. Пусть $\alpha_i, \beta_i$ - корни трехчлена $х^2 - a_ix + b_i$. Тогда по теореме Виета $a_i = \alpha_i + \beta_i, b_i = \alpha_i \beta_i$. Поскольку множество корней многочленов совпадает с множеством $\{ a_1, \cdots , a_n, b_1, \cdots, b_n \}$, то
$\sum_{i=1}^{n}a_i =\sum_{i=1}^{n}(\alpha_i + \beta_i) = \sum_{i=1}^{n}(a_i + b_i) = \sum_{i=1}^{n}a_i + \sum_{i=1}^{n}b_i$.
Следовательно, $\sum_{i=1}^{n}b_i = 0$.
Далее, $\alpha_i^2 + \beta_i^2 = (\alpha_i + \beta_i)^2 - 2\alpha_i \beta_i = a_i^2 - 2b_i$. Тогда
$\sum_{i=1}^{n}(a_i^2 + b_i^2) =\sum_{i=1}^{n}(\alpha_i^2 + \beta_i^2) = \sum_{i=1}^{n}(a_i^2) - 2\sum_{i=1}^{n}b_i = \sum_{i=1}^{n}a_i^2$.
Значит, $\sum_{i=1}^{n}b_i^2 = 0$, т. е. все коэффициенты $b_i$ равны нулю. Это противоречит тому, что они различны.
Ответ. Не может.
Даны $n > 1$ приведенных квадратных трехчленов $x^2 - a_1x + b_1,\cdots, x^2 - a_nx + b_n$, причем все $2_n$ чисел $а_1, \cdots, a_n, b_1, \cdots, b_n$ различны. Может ли случиться, что каждое из чисел $а_1, \cdots, a_n, b_1, \cdots, b_n$ является корнем одного из этих трехчленов?
Решение:
Предположим противное. Поскольку все $2n$ коэффициентов различны, то они и составляют все множество корней наших трехчленов, причем у каждого из них два корня. Пусть $\alpha_i, \beta_i$ - корни трехчлена $х^2 - a_ix + b_i$. Тогда по теореме Виета $a_i = \alpha_i + \beta_i, b_i = \alpha_i \beta_i$. Поскольку множество корней многочленов совпадает с множеством $\{ a_1, \cdots , a_n, b_1, \cdots, b_n \}$, то
$\sum_{i=1}^{n}a_i =\sum_{i=1}^{n}(\alpha_i + \beta_i) = \sum_{i=1}^{n}(a_i + b_i) = \sum_{i=1}^{n}a_i + \sum_{i=1}^{n}b_i$.
Следовательно, $\sum_{i=1}^{n}b_i = 0$.
Далее, $\alpha_i^2 + \beta_i^2 = (\alpha_i + \beta_i)^2 - 2\alpha_i \beta_i = a_i^2 - 2b_i$. Тогда
$\sum_{i=1}^{n}(a_i^2 + b_i^2) =\sum_{i=1}^{n}(\alpha_i^2 + \beta_i^2) = \sum_{i=1}^{n}(a_i^2) - 2\sum_{i=1}^{n}b_i = \sum_{i=1}^{n}a_i^2$.
Значит, $\sum_{i=1}^{n}b_i^2 = 0$, т. е. все коэффициенты $b_i$ равны нулю. Это противоречит тому, что они различны.
Ответ. Не может.
