Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 176
2014-06-07 
Доказать, что если числа $a, b, c$ при каждом значении $n \in \mathbf{N}$ удовлетворяют равенству $[na] + [nb] = [nc]$, то хотя бы одно из чисел $a, b$ является целым.
Решение:
Заметим, что из условий задачи вытекает равенство $c = a +b$, так как в противном случае при достаточно больших значениях $n \in \mathbf{N}$ равенства
$[an] + [bn]= [cn]$
не могут выполняться. Действительно, если $c > a + b$ и $n \geq 1/(c – a - b)$, то
$[nc] > nc – 1 \geq na + nb \geq [na] + [nb]$,
а если $c < a + b$ и $n \geq 2/(a+b-c)$, то
$[nc] \leq nc \leq na – 1 + nb - 1 < [na] + [nb]$.
Кроме того, при $n = 1$ получаем $[a] + [b] = [c]$. Далее, без ограничения общности можно считать, что $0 \leq a < 1, 0 \leq b < 1$ и $c = a + b < 1$ (действительно, если обозначить $a = [a] + \alpha, b = [b] + \beta, c = [c] + \gamma$, то для чисел $\alpha, \beta, \gamma \in [0; 1)$ равенств
$[an] + [bn] = ([a] n + [\alpha n]) + ([b]n + [\beta n]) =$
$= ([a] + [b])n + [\alpha n] + [\beta n] = [c] n + [\gamma n]$
вытекает условие $[\alpha n] + [\beta n] = [\gamma n]$). Предположим, что $a \neq 0, b \neq 0$, и рассмотрим два случая.
а) Пусть $a, b$ - рациональные числа, т. е. $a = k/m, b = l/m, c = (k + l)/m$, где $k, l, m \in \mathbf{N}$ и $ k+ l < m$. Тогда если $n = m -1$, то
$[an] = [k(m-1)/m] = [k - k/m] = [k - a] = k - 1$;
аналогично.
$[bn] = l – 1$ и $[cn] = k + l - 1$,
следовательно, равенство $[an] + [bn] = [cn]$ не выполняется при этом значении $n$.
6) Пусть хотя бы одно из чисел $a, b$ скажем число $a$, является иррациональным. Выберем число $p \in \mathbf{N}$, удовлетворяющее неравенствам
$a + pb < 1 \leq a + (p+1)b$,
и докажем, что для некоторого числа $n \in \mathbf{N}$ выполнены оценки $a + pb < {na}$. Действительно, обозначим $\varepsilon = 1 - (a + pb)$ и рассмотрим числа $\{ a \}, \{ 2a \} , \{ 3a \} , \cdots, \{ ta \} $, где $t > 1/ \varepsilon + 1$. Поскольку все эти числа принадлежат интервалу $(0; 1)$, то среди них обязательно найдутся по меньшей мере два числа $\{ ra \} $ и $\{ qa \} (r < q)$, отличающиеся друг от друга менее чем на $\varepsilon$ (в противном случае наименьшее и наибольшее из этих чисел различаются не менее чем на $\varepsilon (t - 1) > \varepsilon (1/ \varepsilon) = 1$). Поэтому имеются две возможности: либо $\{ (q - r) a \} > 1 - \varepsilon$, либо $\{ (q - r)a \} < \varepsilon$. В первом случае положим $n = q – r$ и получим $a + pb = 1 - \varepsilon < \{ na \}$. Во втором случае обозначим $\delta = \{ (q - r) a \} < \varepsilon$ и выберем число $s \in \mathbf{N}$, удовлетворяющее оценкам $\delta s < 1 \leq \delta (s + 1)$. Тогда положим $n = s(q-r)$ и получим
${na}=a{(q-r)a)}= \delta s > 1 - \varepsilon$.
Поэтому и во втором случае имеем $a + pb < \{ na \}$. Для найденного значения $n$ должны выполняться равенства
$[na] + [nb] = [nc]$,
$\{na\} + \{nb\} = n(a + b) - ([na] + [nb]) = \{nc\}$.
Таким образом, имеем оценки
$\{na\} > a$,
$\{nc\} = \{na\} + \{nb\} \geq \{na\} > a + pb \geq a + b = c$,
$\{nb\} = \{nc\} - \{na\} < 1 - (a + pb) = 1 - (a + (p + 1)b - b) \leq$
$\leq 1 - (1 – b) = b$,
из которых получаем, что $n > 1$ и
$[(n - 1)a] = [na], [(n-1)c] = [nc]$,
$[(n - 1)b] = [nb] - 1$,
а значит, равенство
$[(n -1 ) a] + [(n - 1) b] = [(n - 1) c]$
не выполняется. Итак, доказано, что хотя бы одно из чисел а или b должно быть равно нулю. Полученное противоречие завершает доказательство утверждении задачи.
Доказать, что если числа $a, b, c$ при каждом значении $n \in \mathbf{N}$ удовлетворяют равенству $[na] + [nb] = [nc]$, то хотя бы одно из чисел $a, b$ является целым.
Решение:
Заметим, что из условий задачи вытекает равенство $c = a +b$, так как в противном случае при достаточно больших значениях $n \in \mathbf{N}$ равенства
$[an] + [bn]= [cn]$
не могут выполняться. Действительно, если $c > a + b$ и $n \geq 1/(c – a - b)$, то
$[nc] > nc – 1 \geq na + nb \geq [na] + [nb]$,
а если $c < a + b$ и $n \geq 2/(a+b-c)$, то
$[nc] \leq nc \leq na – 1 + nb - 1 < [na] + [nb]$.
Кроме того, при $n = 1$ получаем $[a] + [b] = [c]$. Далее, без ограничения общности можно считать, что $0 \leq a < 1, 0 \leq b < 1$ и $c = a + b < 1$ (действительно, если обозначить $a = [a] + \alpha, b = [b] + \beta, c = [c] + \gamma$, то для чисел $\alpha, \beta, \gamma \in [0; 1)$ равенств
$[an] + [bn] = ([a] n + [\alpha n]) + ([b]n + [\beta n]) =$
$= ([a] + [b])n + [\alpha n] + [\beta n] = [c] n + [\gamma n]$
вытекает условие $[\alpha n] + [\beta n] = [\gamma n]$). Предположим, что $a \neq 0, b \neq 0$, и рассмотрим два случая.
а) Пусть $a, b$ - рациональные числа, т. е. $a = k/m, b = l/m, c = (k + l)/m$, где $k, l, m \in \mathbf{N}$ и $ k+ l < m$. Тогда если $n = m -1$, то
$[an] = [k(m-1)/m] = [k - k/m] = [k - a] = k - 1$;
аналогично.
$[bn] = l – 1$ и $[cn] = k + l - 1$,
следовательно, равенство $[an] + [bn] = [cn]$ не выполняется при этом значении $n$.
6) Пусть хотя бы одно из чисел $a, b$ скажем число $a$, является иррациональным. Выберем число $p \in \mathbf{N}$, удовлетворяющее неравенствам
$a + pb < 1 \leq a + (p+1)b$,
и докажем, что для некоторого числа $n \in \mathbf{N}$ выполнены оценки $a + pb < {na}$. Действительно, обозначим $\varepsilon = 1 - (a + pb)$ и рассмотрим числа $\{ a \}, \{ 2a \} , \{ 3a \} , \cdots, \{ ta \} $, где $t > 1/ \varepsilon + 1$. Поскольку все эти числа принадлежат интервалу $(0; 1)$, то среди них обязательно найдутся по меньшей мере два числа $\{ ra \} $ и $\{ qa \} (r < q)$, отличающиеся друг от друга менее чем на $\varepsilon$ (в противном случае наименьшее и наибольшее из этих чисел различаются не менее чем на $\varepsilon (t - 1) > \varepsilon (1/ \varepsilon) = 1$). Поэтому имеются две возможности: либо $\{ (q - r) a \} > 1 - \varepsilon$, либо $\{ (q - r)a \} < \varepsilon$. В первом случае положим $n = q – r$ и получим $a + pb = 1 - \varepsilon < \{ na \}$. Во втором случае обозначим $\delta = \{ (q - r) a \} < \varepsilon$ и выберем число $s \in \mathbf{N}$, удовлетворяющее оценкам $\delta s < 1 \leq \delta (s + 1)$. Тогда положим $n = s(q-r)$ и получим
${na}=a{(q-r)a)}= \delta s > 1 - \varepsilon$.
Поэтому и во втором случае имеем $a + pb < \{ na \}$. Для найденного значения $n$ должны выполняться равенства
$[na] + [nb] = [nc]$,
$\{na\} + \{nb\} = n(a + b) - ([na] + [nb]) = \{nc\}$.
Таким образом, имеем оценки
$\{na\} > a$,
$\{nc\} = \{na\} + \{nb\} \geq \{na\} > a + pb \geq a + b = c$,
$\{nb\} = \{nc\} - \{na\} < 1 - (a + pb) = 1 - (a + (p + 1)b - b) \leq$
$\leq 1 - (1 – b) = b$,
из которых получаем, что $n > 1$ и
$[(n - 1)a] = [na], [(n-1)c] = [nc]$,
$[(n - 1)b] = [nb] - 1$,
а значит, равенство
$[(n -1 ) a] + [(n - 1) b] = [(n - 1) c]$
не выполняется. Итак, доказано, что хотя бы одно из чисел а или b должно быть равно нулю. Полученное противоречие завершает доказательство утверждении задачи.
