Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1757
2019-01-20 
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ и высота $BE$. Докажите, что угол $CED$ больше $45^{\circ}$.
Решение:
Обозначим через $K, L, M$ - основания перпендикуляров, опущенных из точки $D$ соответственно на $AB, AC, BE$ (см. рис.). (Точки $K, L, M$ лежат на отрезках $AB, AC, BE$, а не на их пр одолжениях, так как $\triangle ABC$ - остроугольный.) Пусть $DK$ пересекает $BE$ в точке $P$. Заметим, что $DLEM$ - прямоугольник, а точка $D$ равноудалена от сторон $AB$ и $AC$, так как лежит на биссектрисе $AD$. Отсюда $EM = DL = DK > DP > DM$. Поскольку в треугольнике $EDM$ против большей стороны лежит больший угол, $\angle EDM > \angle DEM = 90^{\circ} - \angle EDM$, поэтому $\angle EDM > 45^{\circ}$. Но $ \angle EDM = \angle CED$, откуда получаем требуемое.
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ и высота $BE$. Докажите, что угол $CED$ больше $45^{\circ}$.
Решение:
Обозначим через $K, L, M$ - основания перпендикуляров, опущенных из точки $D$ соответственно на $AB, AC, BE$ (см. рис.). (Точки $K, L, M$ лежат на отрезках $AB, AC, BE$, а не на их пр одолжениях, так как $\triangle ABC$ - остроугольный.) Пусть $DK$ пересекает $BE$ в точке $P$. Заметим, что $DLEM$ - прямоугольник, а точка $D$ равноудалена от сторон $AB$ и $AC$, так как лежит на биссектрисе $AD$. Отсюда $EM = DL = DK > DP > DM$. Поскольку в треугольнике $EDM$ против большей стороны лежит больший угол, $\angle EDM > \angle DEM = 90^{\circ} - \angle EDM$, поэтому $\angle EDM > 45^{\circ}$. Но $ \angle EDM = \angle CED$, откуда получаем требуемое.
