Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1756
2019-01-20 
Биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекают описанную окружность этого треугольника в точках $A_0$ и $C_0$ соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника $ABC$ параллельно стороне $AC$, пересекается с прямой $A_0C_0$ в точке $P$. Докажите, что прямая $PB$ касается описанной окружности треугольника $ABC$.
Решение:
Обозначим центр вписанной окружности через $I$. Пусть $B_0$ - точка пересечения биссектрисы угла $B$ с описанной окружностью. Тогда $\angle IBC_o = \frac{1}{2} (\breve{АС_о} + \breve{АВ_о}) = \frac{1}{2} (\breve{BC_0} + \breve{СВ_0}) = \angle BIC_o$, т. е. треугольник $BIC_0$ равнобедренный, $BC_0 = IC_0$. Аналогично, $BA_0 = IA_0$, значит треугольники $A_0IC_0$ и $A_0BC_0$ равны (см.![]()
). Следовательно, точки $B$ и $I$ симметричны относительно $C_0A_0$, т. е. $A_0P$ - серединный перпендикуляр к отрезку $BI$.
Пусть, для определенности, $P$ лежит на луче $C_0A_0$. Пользуясь симметрией относительно $A_0P$, имеем: $\angle A_0BP = \angle A_0IP = \angle A_0AC = \angle A_0AB$. Получилось, что угол между хордой $A_0B$ окружности и прямой $BP$ равен вписанному углу этой окружности, опирающемуся на дугу $A_0B$. По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, заключаем, что $BP$ - касательная к описанной окружности треугольника $ABC$.
Биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекают описанную окружность этого треугольника в точках $A_0$ и $C_0$ соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника $ABC$ параллельно стороне $AC$, пересекается с прямой $A_0C_0$ в точке $P$. Докажите, что прямая $PB$ касается описанной окружности треугольника $ABC$.
Решение:
Обозначим центр вписанной окружности через $I$. Пусть $B_0$ - точка пересечения биссектрисы угла $B$ с описанной окружностью. Тогда $\angle IBC_o = \frac{1}{2} (\breve{АС_о} + \breve{АВ_о}) = \frac{1}{2} (\breve{BC_0} + \breve{СВ_0}) = \angle BIC_o$, т. е. треугольник $BIC_0$ равнобедренный, $BC_0 = IC_0$. Аналогично, $BA_0 = IA_0$, значит треугольники $A_0IC_0$ и $A_0BC_0$ равны (см.
Пусть, для определенности, $P$ лежит на луче $C_0A_0$. Пользуясь симметрией относительно $A_0P$, имеем: $\angle A_0BP = \angle A_0IP = \angle A_0AC = \angle A_0AB$. Получилось, что угол между хордой $A_0B$ окружности и прямой $BP$ равен вписанному углу этой окружности, опирающемуся на дугу $A_0B$. По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, заключаем, что $BP$ - касательная к описанной окружности треугольника $ABC$.
