Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1755
2019-01-20 
Известно, что $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{6}^{2} = 6$ и $x_1 + x_2 + \cdots + x_6 = 0$. Докажите, что $x_1x_2 \cdots x_6 \leq \frac {1}{2}$.
Решение:
Если среди чисел $x_1, x_2,\cdots, x_6$ нечетное число отрицательных или есть ноль, то неравенство очевидно. Пусть отрицательных чисел два или четыре. Меняя, если нужно, знаки у всех чисел, можно добиться того, что ровно два числа будут отрицательными. Пусть для определенности это числа $X_1$ и $Х_2$. Положим $у_к = |x_k|$. Тогда $у_1^2 + у_2^2 + \cdots + у_6^2 = 6$ и $у_1 + у_2 = у_3 + у_4 + у_5 + у_6$. Обозначим последнюю сумму через $s$. По неравенству о средних для двух чисел имеем
$у_1у_2 \leq (\frac{y_1 + y_2}{2})^2 = \frac{s^2}{4}$.
Аналогично,
$y_3y_4y_5y_6 \leq (\frac{y_3 + y_4 + y_5 + y_6}{4})^4 = \frac{s^4}{4^4}$.
Значит, $y_1y_2 \cdots у_6 \leq \frac{s^6}{4^5}$. С другой стороны
$2(у_1^2 + у_2^2) \geq (у_1 + у_2)^2 = s^2$ и
$4(у_3^2 + у_4^2 + у_5^2 + у_6^2) \geq (у_1 + у_2 + у_3 + у_4)^2 = s^2$,
что следует из неравенства между средним арифметическим и средним квадратическим (или доказывается с помощью простого раскрытия скобок). Таким образом,
$6 = y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_6^2 \geq \frac{s^2}{2} + \frac{s^2}{4} + \frac{3}{4} \cdot s^2$.
Стало быть, $s^2 \leq 8$ и
$x_1x_2 \cdots x_6 = y_1y_2 \cdots y_6 \leq \frac{s^6}{4^5} \leq \frac{8^3}{4^5} = \frac{1}{2}$.
Известно, что $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{6}^{2} = 6$ и $x_1 + x_2 + \cdots + x_6 = 0$. Докажите, что $x_1x_2 \cdots x_6 \leq \frac {1}{2}$.
Решение:
Если среди чисел $x_1, x_2,\cdots, x_6$ нечетное число отрицательных или есть ноль, то неравенство очевидно. Пусть отрицательных чисел два или четыре. Меняя, если нужно, знаки у всех чисел, можно добиться того, что ровно два числа будут отрицательными. Пусть для определенности это числа $X_1$ и $Х_2$. Положим $у_к = |x_k|$. Тогда $у_1^2 + у_2^2 + \cdots + у_6^2 = 6$ и $у_1 + у_2 = у_3 + у_4 + у_5 + у_6$. Обозначим последнюю сумму через $s$. По неравенству о средних для двух чисел имеем
$у_1у_2 \leq (\frac{y_1 + y_2}{2})^2 = \frac{s^2}{4}$.
Аналогично,
$y_3y_4y_5y_6 \leq (\frac{y_3 + y_4 + y_5 + y_6}{4})^4 = \frac{s^4}{4^4}$.
Значит, $y_1y_2 \cdots у_6 \leq \frac{s^6}{4^5}$. С другой стороны
$2(у_1^2 + у_2^2) \geq (у_1 + у_2)^2 = s^2$ и
$4(у_3^2 + у_4^2 + у_5^2 + у_6^2) \geq (у_1 + у_2 + у_3 + у_4)^2 = s^2$,
что следует из неравенства между средним арифметическим и средним квадратическим (или доказывается с помощью простого раскрытия скобок). Таким образом,
$6 = y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_6^2 \geq \frac{s^2}{2} + \frac{s^2}{4} + \frac{3}{4} \cdot s^2$.
Стало быть, $s^2 \leq 8$ и
$x_1x_2 \cdots x_6 = y_1y_2 \cdots y_6 \leq \frac{s^6}{4^5} \leq \frac{8^3}{4^5} = \frac{1}{2}$.
