Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1754
2019-01-20 
В каждую клетку бесконечной клетчатой плоскости записано одно из чисел 1, 2, 3, 4 так, что каждое число встречается хотя бы один раз. Назовем клетку правильной, если количество различных чисел, записанных в четыре соседние (по стороне) с ней клетки, равно числу, записанному в эту клетку. Могут ли все клетки плоскости оказаться правильными?
Решение:
Предположим, что при некоторой расстановке чисел все клетки оказались правильными.
Пусть в клетку $A$ записано число 4, тогда в одной из соседних с $A$ клеток, например, в клетку $В$, записано число 4, а в одну из клеток $C, D, E$ - число 1. Если 1 записана в клетке $C$, то в клетку $F$ также записано 4 - противоречие: у клетки $В$ две соседних клетки с числом 4. Аналогично, число 1 не может быть записано в клетку $E$. Значит, 1 - в клетке $D$. Аналогично, 1 - в клетке $G$, а тогда в клетках $U$ и $V$ - опять четверки. Итак, числа 4 порождают «цепочки» $\cdots - 1 - 4 - 4 - 1 - 4 - 4 - \cdots$. Из того, что в клетку $K$ записано число 4, следует, что в $M$ записано 4, в $N - 1$, и тогда однозначно восстанавливаются числа в выделенных строках и столбцах (см. рис.).
Далее, в один из незаполненных еще квадратов $2 \times 2$ записано число 3. Пусть, для определенности, 3 записано в клетку $C$. В клетки $F$ и $H$ нельзя записать 1 и 4, значит, там записаны 2 и 3. Без ограничения общности, пусть 2 записано в $F$, а 3 - в $H$. Рассматривая клетку $H$, получаем, что в клетку $P$ записано число 2. Но в этом случае у клетки $F$ с числом 2 в соседних клетках три различных числа. Противоречие.
Ответ. Не могут.
В каждую клетку бесконечной клетчатой плоскости записано одно из чисел 1, 2, 3, 4 так, что каждое число встречается хотя бы один раз. Назовем клетку правильной, если количество различных чисел, записанных в четыре соседние (по стороне) с ней клетки, равно числу, записанному в эту клетку. Могут ли все клетки плоскости оказаться правильными?
Решение:
Предположим, что при некоторой расстановке чисел все клетки оказались правильными.
Пусть в клетку $A$ записано число 4, тогда в одной из соседних с $A$ клеток, например, в клетку $В$, записано число 4, а в одну из клеток $C, D, E$ - число 1. Если 1 записана в клетке $C$, то в клетку $F$ также записано 4 - противоречие: у клетки $В$ две соседних клетки с числом 4. Аналогично, число 1 не может быть записано в клетку $E$. Значит, 1 - в клетке $D$. Аналогично, 1 - в клетке $G$, а тогда в клетках $U$ и $V$ - опять четверки. Итак, числа 4 порождают «цепочки» $\cdots - 1 - 4 - 4 - 1 - 4 - 4 - \cdots$. Из того, что в клетку $K$ записано число 4, следует, что в $M$ записано 4, в $N - 1$, и тогда однозначно восстанавливаются числа в выделенных строках и столбцах (см. рис.).
Далее, в один из незаполненных еще квадратов $2 \times 2$ записано число 3. Пусть, для определенности, 3 записано в клетку $C$. В клетки $F$ и $H$ нельзя записать 1 и 4, значит, там записаны 2 и 3. Без ограничения общности, пусть 2 записано в $F$, а 3 - в $H$. Рассматривая клетку $H$, получаем, что в клетку $P$ записано число 2. Но в этом случае у клетки $F$ с числом 2 в соседних клетках три различных числа. Противоречие.
Ответ. Не могут.
