Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1753
2019-01-20 
При изготовлении партии из $N \geq 5$ монет работник по ошибке из готовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково). Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются по весу от остальных. Работник знает, какие это монеты и что они легче остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на чашечных весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, и в том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать?
Решение:
Пусть $m_1$ и $m_2$ - фальшивые монеты, $m_3, m_4$ и $m_5$ - какие-то три из настоящих монет. Работник делает два таких взвешивания:
$m_1 \vee m_3$,
$m_4 + m_5 \vee m_2 + m_3$.
В результате начальник убеждается, что $m_1 < m_3$ и $m_4 + m_5 > m_2 + m_3$. Из первого взвешивания он делает вывод, что $m_1$ - более легкая монета, чем $m_3$, а из второго - что среди монет $m_4$ и $m_5$ тяжелых монет больше, чем среди $m_2$ и $m_3$. Таким образом, он делает вывод, что $m_4$ и $m_5$ тяжелые монеты, а $m_2$ - легкая. В итоге он видит три тяжелых монеты и две легких, а поскольку он знает, что фальшивых монет ровно две, то он убеждается в том, что фальшивыми являются именно легкие монеты $m_1$ и $m_2$.
Ответ. Может.
При изготовлении партии из $N \geq 5$ монет работник по ошибке из готовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково). Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются по весу от остальных. Работник знает, какие это монеты и что они легче остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на чашечных весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, и в том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать?
Решение:
Пусть $m_1$ и $m_2$ - фальшивые монеты, $m_3, m_4$ и $m_5$ - какие-то три из настоящих монет. Работник делает два таких взвешивания:
$m_1 \vee m_3$,
$m_4 + m_5 \vee m_2 + m_3$.
В результате начальник убеждается, что $m_1 < m_3$ и $m_4 + m_5 > m_2 + m_3$. Из первого взвешивания он делает вывод, что $m_1$ - более легкая монета, чем $m_3$, а из второго - что среди монет $m_4$ и $m_5$ тяжелых монет больше, чем среди $m_2$ и $m_3$. Таким образом, он делает вывод, что $m_4$ и $m_5$ тяжелые монеты, а $m_2$ - легкая. В итоге он видит три тяжелых монеты и две легких, а поскольку он знает, что фальшивых монет ровно две, то он убеждается в том, что фальшивыми являются именно легкие монеты $m_1$ и $m_2$.
Ответ. Может.
