Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1752
2019-01-20 
Медиану $AA_0$ треугольника $ABC$ отложили от точки $A_0$ перпендикулярно стороне $BC$ во внешнюю сторону треугольника. Обозначим второй конец построенного отрезка через $A_1$. Аналогично строятся точки $B_1$ и $C_1$ . Найдите углы треугольника $A_1B_1C_1$, если углы треугольника $ABC$ равны $30^{\circ}, 30^{\circ}$ и $120^{\circ}$.
Решение:
Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, то $BB_0$ - серединный перпендикуляр в основанию $AC$. Значит, $B_1$ лежит на этом перпендикуляре и $CB_0 \perp BB_1$. В $\triangle BCB_1$ точка $B_0$ - основание высоты и медианы на стороне $BB_1$, откуда $BC = В_1C$, а так как $\angle B_1BC = \frac{1}{2} \angle ABC = 60^{\circ}$. Значит, $\triangle B_1BC$ - равносторонний, а $A_0$, будучи серединой стороны $BC$ является основанием высоты в треугольнике $B_1BC$. Получается, что точки $A_1$ и $B_1$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$. Аналогично, $C_1$ и $B_1$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Значит, $\angle C_1B_1A_1 = 180^{\circ} - \angle ABC = 60^{\circ}, B_1A_1 = B_1A_0 + A_0A_1 = B_1A_0 + A_0A = B_1C_0 + C_0C = B_1C_0 + C_0C_1 = B_1C_1$, т. е. $\triangle A_1B_1C_1$ - равнобедренный с углом при вершине $60^{\circ}$.
Ответ. $\triangle A_1B_1C_1$ - равносторонний, все углы равны $60^{\circ}$.
Медиану $AA_0$ треугольника $ABC$ отложили от точки $A_0$ перпендикулярно стороне $BC$ во внешнюю сторону треугольника. Обозначим второй конец построенного отрезка через $A_1$. Аналогично строятся точки $B_1$ и $C_1$ . Найдите углы треугольника $A_1B_1C_1$, если углы треугольника $ABC$ равны $30^{\circ}, 30^{\circ}$ и $120^{\circ}$.
Решение:
Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, то $BB_0$ - серединный перпендикуляр в основанию $AC$. Значит, $B_1$ лежит на этом перпендикуляре и $CB_0 \perp BB_1$. В $\triangle BCB_1$ точка $B_0$ - основание высоты и медианы на стороне $BB_1$, откуда $BC = В_1C$, а так как $\angle B_1BC = \frac{1}{2} \angle ABC = 60^{\circ}$. Значит, $\triangle B_1BC$ - равносторонний, а $A_0$, будучи серединой стороны $BC$ является основанием высоты в треугольнике $B_1BC$. Получается, что точки $A_1$ и $B_1$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$. Аналогично, $C_1$ и $B_1$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Значит, $\angle C_1B_1A_1 = 180^{\circ} - \angle ABC = 60^{\circ}, B_1A_1 = B_1A_0 + A_0A_1 = B_1A_0 + A_0A = B_1C_0 + C_0C = B_1C_0 + C_0C_1 = B_1C_1$, т. е. $\triangle A_1B_1C_1$ - равнобедренный с углом при вершине $60^{\circ}$.
Ответ. $\triangle A_1B_1C_1$ - равносторонний, все углы равны $60^{\circ}$.
