Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1748
2019-01-20 
В круговых автогонках участвовали четыре гонщика. Их машины стартовали одновременно из одной точки и двигались с постоянными скоростями. Известно, что после начала гонок для любых трех машин нашелся момент, когда они встретились. Докажите, что после начала гонок найдется момент, когда встретятся все 4 машины. (Гонки считаем бесконечно долгими по времени.)
Решение:
Достаточно решить задачу для случая, когда самый медленный гонщик стоит на месте в точке старта, а остальные (назовем их Петя, Вася и Коля) едут со скоростями, уменьшенными на скорость самого медленного; при таком изменении условия моменты встреч гонщиков останутся неизменными. Пусть до первой встречи с Васей в точке старта Петя проехал $а$ кругов, а с Колей - $b$ кругов. Тогда Петя будет встречаться на старте с Васей через каждые $а$ кругов, а с Колей - через каждые $b$ кругов, и через $ab$ Петиных кругов в точке старта окажутся все трое.
В круговых автогонках участвовали четыре гонщика. Их машины стартовали одновременно из одной точки и двигались с постоянными скоростями. Известно, что после начала гонок для любых трех машин нашелся момент, когда они встретились. Докажите, что после начала гонок найдется момент, когда встретятся все 4 машины. (Гонки считаем бесконечно долгими по времени.)
Решение:
Достаточно решить задачу для случая, когда самый медленный гонщик стоит на месте в точке старта, а остальные (назовем их Петя, Вася и Коля) едут со скоростями, уменьшенными на скорость самого медленного; при таком изменении условия моменты встреч гонщиков останутся неизменными. Пусть до первой встречи с Васей в точке старта Петя проехал $а$ кругов, а с Колей - $b$ кругов. Тогда Петя будет встречаться на старте с Васей через каждые $а$ кругов, а с Колей - через каждые $b$ кругов, и через $ab$ Петиных кругов в точке старта окажутся все трое.
