Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1743
2019-01-20 
Каждую вершину выпуклого четырехугольника площади $S$ отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Обозначим площадь получившегося четырехугольника через ${S}^{ \prime}$. Докажите, что $\frac {{S}^{ \prime}}{S}< 3$.
Решение:
При указанном отражении сохраняются длины диагоналей четырехугольника. Пусть острый угол между диагоналями был равен $\alpha$, тогда после отражения один из углов между диагоналями становится равным либо $3\alpha$, либо $3 \alpha - \pi$, а поэтому отношение площадей равно $|\frac{\sin (3\alpha)}{\sin \alpha}|$. Используя формулу для синуса тройного угла, получим, $\frac{S^{ \prime} }{S} = |3 - 4 \sin^2 \alpha| < 3$.
Каждую вершину выпуклого четырехугольника площади $S$ отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Обозначим площадь получившегося четырехугольника через ${S}^{ \prime}$. Докажите, что $\frac {{S}^{ \prime}}{S}< 3$.
Решение:
При указанном отражении сохраняются длины диагоналей четырехугольника. Пусть острый угол между диагоналями был равен $\alpha$, тогда после отражения один из углов между диагоналями становится равным либо $3\alpha$, либо $3 \alpha - \pi$, а поэтому отношение площадей равно $|\frac{\sin (3\alpha)}{\sin \alpha}|$. Используя формулу для синуса тройного угла, получим, $\frac{S^{ \prime} }{S} = |3 - 4 \sin^2 \alpha| < 3$.
