Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1742
2019-01-20 
Докажите, что для любого многочлена $P$ с целыми коэффициентами и любого натурального $k$ существует такое натуральное $n$, что $P (1) + P(2) + \cdots + P(n)$ делится на $k$.
Решение:
Заметим, что числа $P(r)$ и $P(mk + r)$ дают одинаковые остатки при делении на $k$. Следовательно, в сумме $P(1) + P(2) + \cdots + P(k^2)$ для каждого $r = 0, 1,\cdots, k - 1$ будет $k$ слагаемых вида $P(mk + r)$, дающих одинаковые остатки при делении на $k$. Сумма этих $k$ слагаемых делится на $k$; сумма всех $k^2$ слагаемых разбивается на $k$ таких сумм, а потому тоже делится на $k$.
Докажите, что для любого многочлена $P$ с целыми коэффициентами и любого натурального $k$ существует такое натуральное $n$, что $P (1) + P(2) + \cdots + P(n)$ делится на $k$.
Решение:
Заметим, что числа $P(r)$ и $P(mk + r)$ дают одинаковые остатки при делении на $k$. Следовательно, в сумме $P(1) + P(2) + \cdots + P(k^2)$ для каждого $r = 0, 1,\cdots, k - 1$ будет $k$ слагаемых вида $P(mk + r)$, дающих одинаковые остатки при делении на $k$. Сумма этих $k$ слагаемых делится на $k$; сумма всех $k^2$ слагаемых разбивается на $k$ таких сумм, а потому тоже делится на $k$.
