Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1740
2019-01-20 
Известно, что существует число $S$, такое, что если $а + b + с + d = S$ и $ \frac {1}{a}+ \frac {1}{b}+ \frac {1}{c}+ \frac {1}{d}=S$ ($a, b, с, d$ отличны от нуля и единицы), то $ \frac {1}{a-1}+ \frac {1}{b-1}+ \frac {1}{c-1}+ \frac {1}{d-1}=S$. Найти $S$.
Решение:
Если числа $a, b, с, d$ удовлетворяют условиям утверждения в задаче, то числа $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ удовлетворяют этим условиям, а значит, для тех и других верно заключение этого утверждения, т. е. $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{b-1} + \frac{1}{c-1} + \frac{1}{d-1} = S$ и $\frac{1}{\frac{1}{a}-1} + \frac{1}{\frac{1}{b}-1} + \frac{1}{\frac{1}{c}-1} + \frac{1}{\frac{1}{d}-1} = S$. Сложив эти равенства, получим $-4 = 2S,$ ибо $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{\frac{1}{a} - 1} = -1,$ откуда $S = -2$.
Замечание. Нетрудно убедиться, что верно следующее утверждение: если $a + b + c + d = -2$ и $\frac {1}{a}+ \frac {1}{b}+ \frac {1}{c}+ \frac {1}{d} = -2$ ($a, b, c, d$ отличны от нуля и единицы), то $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{b-1} + \frac{1}{c-1} + \frac{1}{d-1} = -2$. Но этого в задаче не требуется.
Ответ. -2.
Известно, что существует число $S$, такое, что если $а + b + с + d = S$ и $ \frac {1}{a}+ \frac {1}{b}+ \frac {1}{c}+ \frac {1}{d}=S$ ($a, b, с, d$ отличны от нуля и единицы), то $ \frac {1}{a-1}+ \frac {1}{b-1}+ \frac {1}{c-1}+ \frac {1}{d-1}=S$. Найти $S$.
Решение:
Если числа $a, b, с, d$ удовлетворяют условиям утверждения в задаче, то числа $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ удовлетворяют этим условиям, а значит, для тех и других верно заключение этого утверждения, т. е. $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{b-1} + \frac{1}{c-1} + \frac{1}{d-1} = S$ и $\frac{1}{\frac{1}{a}-1} + \frac{1}{\frac{1}{b}-1} + \frac{1}{\frac{1}{c}-1} + \frac{1}{\frac{1}{d}-1} = S$. Сложив эти равенства, получим $-4 = 2S,$ ибо $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{\frac{1}{a} - 1} = -1,$ откуда $S = -2$.
Замечание. Нетрудно убедиться, что верно следующее утверждение: если $a + b + c + d = -2$ и $\frac {1}{a}+ \frac {1}{b}+ \frac {1}{c}+ \frac {1}{d} = -2$ ($a, b, c, d$ отличны от нуля и единицы), то $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{b-1} + \frac{1}{c-1} + \frac{1}{d-1} = -2$. Но этого в задаче не требуется.
Ответ. -2.
