Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1734
2019-01-20 
Докажите, что для любого $x > 0$ и натурального $n$ выполнено неравенство $1+x^{n+1} \geq \frac {({2x})^n}{({1+x})^{n-1}}$.
Решение:
По неравенству о средних арифметическом и геометрическом
$1 + x^{n+1} \geq 2x^{\frac{n+1}{2}}, 1 + x \geq 2x^{\frac{1}{2}}$.
Поэтому
$(1+ x^{n+1})(1+x)^{n-1} \geq 2x^{\frac{n+1}{2}} \cdot (2x^{\frac{1}{2}})^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-1} \cdot x^{\frac{n+1}{2}} \cdot x^{\frac{n-1}{2}} = 2^nx^n$.
Разделив на $(1 + x)^{n-1}$, получим нужное неравенство.
Докажите, что для любого $x > 0$ и натурального $n$ выполнено неравенство $1+x^{n+1} \geq \frac {({2x})^n}{({1+x})^{n-1}}$.
Решение:
По неравенству о средних арифметическом и геометрическом
$1 + x^{n+1} \geq 2x^{\frac{n+1}{2}}, 1 + x \geq 2x^{\frac{1}{2}}$.
Поэтому
$(1+ x^{n+1})(1+x)^{n-1} \geq 2x^{\frac{n+1}{2}} \cdot (2x^{\frac{1}{2}})^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-1} \cdot x^{\frac{n+1}{2}} \cdot x^{\frac{n-1}{2}} = 2^nx^n$.
Разделив на $(1 + x)^{n-1}$, получим нужное неравенство.
