Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1733
2019-01-20 
Косинусы углов одного треугольника соответственно равны синусам углов другого треугольника. Найдите наибольший из шести углов этих треугольников.
Решение:
Из условия следует, что углы $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ первого треугольника - острые ($\cos \alpha_i = \sin \beta_i > 0,$ где ($\beta_1, \beta_2, \beta_3$, - углы второго треугольника). Поэтому $\beta_i = \frac{\pi}{2} \pm a_i, i = 1, 2, 3$. Из равенства $\pi = \beta_1 + \beta_2 + \beta_3 = \frac{3 \pi}{2} + (\pm \alpha_1 \pm \alpha_2 \pm \alpha_3),$ где $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = \pi$, следует, что в скобках есть как знаки «+», так и знаки «-».
Кроме того, во втором треугольнике не может быть двух тупых углов, поэтому в скобках один знак «+» и два знака «-».
Значит, $\pi = \frac{3 \pi}{2} + (\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3)$, откуда $\alpha_1 = \frac{\pi}{4}$ т. е. $\beta_1 = \frac{3 \pi}{4} = 135^{\circ}$. При этом это единственный тупой угол второго треугольника, а первый треугольник - остроугольный; значит, этот угол - наибольший.
Замечание. Треугольники, о которых говорится в задаче, существуют - например, треугольники с углами $70^{\circ}, 65^{\circ}, 45^{\circ}$ и $20^{\circ}, 25^{\circ}, 135^{\circ}$.
Ответ. $135^{\circ}$.
Косинусы углов одного треугольника соответственно равны синусам углов другого треугольника. Найдите наибольший из шести углов этих треугольников.
Решение:
Из условия следует, что углы $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ первого треугольника - острые ($\cos \alpha_i = \sin \beta_i > 0,$ где ($\beta_1, \beta_2, \beta_3$, - углы второго треугольника). Поэтому $\beta_i = \frac{\pi}{2} \pm a_i, i = 1, 2, 3$. Из равенства $\pi = \beta_1 + \beta_2 + \beta_3 = \frac{3 \pi}{2} + (\pm \alpha_1 \pm \alpha_2 \pm \alpha_3),$ где $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = \pi$, следует, что в скобках есть как знаки «+», так и знаки «-».
Кроме того, во втором треугольнике не может быть двух тупых углов, поэтому в скобках один знак «+» и два знака «-».
Значит, $\pi = \frac{3 \pi}{2} + (\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3)$, откуда $\alpha_1 = \frac{\pi}{4}$ т. е. $\beta_1 = \frac{3 \pi}{4} = 135^{\circ}$. При этом это единственный тупой угол второго треугольника, а первый треугольник - остроугольный; значит, этот угол - наибольший.
Замечание. Треугольники, о которых говорится в задаче, существуют - например, треугольники с углами $70^{\circ}, 65^{\circ}, 45^{\circ}$ и $20^{\circ}, 25^{\circ}, 135^{\circ}$.
Ответ. $135^{\circ}$.
