Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1730
2019-01-20 
Каждую вершину трапеции отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Докажите, что если получившиеся точки образуют четырехугольник, то он также является трапецией.
Решение:
Пусть $ABCD$ - исходная трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, и пусть при отражении получаются точки $A^{ \prime}, B^{ \prime}, C^{ \prime}$ и $D^{ \prime}$ (см. рис.). Тогда отрезки $BD$ и $B^{ \prime}D^{ \prime}$ симметричны относительно $AC$, поэтому они равны и пересекаются на прямой $AC$, а именно в точке $O$ пересечения диагоналей трапеции $ABCD$. Кроме того, $\frac{BO}{OD} = \frac{B^{ \prime}O}{OD^{ \prime}}$. Аналогично, $AC$ проходит через $О$ и $\frac{CO}{OA} = \frac{C^{ \prime}O}{OA^{ \prime}}$ из подобия треугольников $AOD$ и $COD$. Поэтому $\frac{B^{ \prime}O}{OD^{ \prime}} = \frac{C^{ \prime}O}{OA^{ \prime}}$, следовательно, треугольники $A^{ \prime}OD^{ \prime}$ и $C^{ \prime}OB^{ \prime}$ также подобны, и поэтому $B^{ \prime}C^{ \prime} \parallel A^{ \prime}D^{ \prime}$.
Замечание. Из решения задачи 1743 следует, что если угол между диагоналями равен $60^{\circ}$, то при указанном отражении точки будут лежать на одной прямой.
Каждую вершину трапеции отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Докажите, что если получившиеся точки образуют четырехугольник, то он также является трапецией.
Решение:
Пусть $ABCD$ - исходная трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, и пусть при отражении получаются точки $A^{ \prime}, B^{ \prime}, C^{ \prime}$ и $D^{ \prime}$ (см. рис.). Тогда отрезки $BD$ и $B^{ \prime}D^{ \prime}$ симметричны относительно $AC$, поэтому они равны и пересекаются на прямой $AC$, а именно в точке $O$ пересечения диагоналей трапеции $ABCD$. Кроме того, $\frac{BO}{OD} = \frac{B^{ \prime}O}{OD^{ \prime}}$. Аналогично, $AC$ проходит через $О$ и $\frac{CO}{OA} = \frac{C^{ \prime}O}{OA^{ \prime}}$ из подобия треугольников $AOD$ и $COD$. Поэтому $\frac{B^{ \prime}O}{OD^{ \prime}} = \frac{C^{ \prime}O}{OA^{ \prime}}$, следовательно, треугольники $A^{ \prime}OD^{ \prime}$ и $C^{ \prime}OB^{ \prime}$ также подобны, и поэтому $B^{ \prime}C^{ \prime} \parallel A^{ \prime}D^{ \prime}$.
Замечание. Из решения задачи 1743 следует, что если угол между диагоналями равен $60^{\circ}$, то при указанном отражении точки будут лежать на одной прямой.
