Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 173
2014-06-07 
Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$ имеет место оценка
${n \sqrt{2}} > 1/(2n \sqrt{2})$,
причем для любого $\varepsilon > 0$ найдется число $n \in \mathbf{N}$ удовлетворяющее неравенству
${n \sqrt{2}} < (1 + \varepsilon ) / (2n \sqrt{2})$.
Решение:
Для заданного значения $n \in \mathbf{N}$ обозначим $m = [n \sqrt{2}]$. Так как $m \neq n \sqrt{2}$ (иначе число $\sqrt{2} =m/n$ было бы рациональным), то $m < n \sqrt{2}$ и $m^{2} < 2n^{2}$. Поэтому
$1 \leq 2n^{2} – m^{2} = (n \sqrt{2} - m)( n \sqrt{2} + m) =$
$= {n \sqrt{2}} (n \sqrt{2} + m) < {n \sqrt{2}} 2n \sqrt{2}$,
откуда вытекает требуемая оценка. Пусть задано число $\varepsilon > 0$. Рассмотрим последовательности ${n_{i}}$ и ${m_{i}}$, определенные следующим образом: $n_{1} = m_{1} = 1$,
$n_{i+1} = 3n_{i} + 2m_{i}; m_{i+1} = 4n_{i} + 3m_{i}, i \in \mathbf{N}$.
Тогда $2n_{i}^{2} – m_{i}^{2} = 1$ для всех $i \in \mathbf{N}$. Действительно, при $i =1$ имеем верное равенство $2n^{2}_{1} – m_{1}^{2} = 1$. Если же это равенство верно для некоторого значения $i \in \mathbf{N}$, то
$2n_{i+1}^{2} – m_{i+1}^{2} = 2 (9n_{i}^{2}+12n_{i}m_{i} + 4 m_{i}^{2}) -$
$ - (16n_{i}^{2} +24 n_{i}m_{i} + 9m_{i}^{2}) = 2n_{i}^{2} – m_{i}^{2} =l$,
т. е. оно верно и для значения $i + 1$. Так как последовательность ${n_{i}}$ возрастает, то можно выбрать такое значение $n = n_{i0}$, чтобы выподнялось неравенство
$n > (1/(2 \sqrt{2}))(1 + 1/ \varepsilon)$.
Тогда справедливы оценки
$\varepsilon ( 2n \sqrt{2} - 1) > 1, (1 + \varepsilon ) (2 n \sqrt{2} - 1) > 2n \sqrt{2}$,
из которых при $m = m_{i0}$ вытекают соотношения
$\frac{1+ \varepsilon}{ 2n \sqrt{2}} > \frac{1}{2n \sqrt{2} - 1} > \frac{1}{n \sqrt{n} + m} = n \sqrt{2} – m = {n \sqrt{2}}$,
поскольку $0 < n \sqrt{2} – m = 1/(n \sqrt{2} + m) < 1$. Задача решена.
Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$ имеет место оценка
${n \sqrt{2}} > 1/(2n \sqrt{2})$,
причем для любого $\varepsilon > 0$ найдется число $n \in \mathbf{N}$ удовлетворяющее неравенству
${n \sqrt{2}} < (1 + \varepsilon ) / (2n \sqrt{2})$.
Решение:
Для заданного значения $n \in \mathbf{N}$ обозначим $m = [n \sqrt{2}]$. Так как $m \neq n \sqrt{2}$ (иначе число $\sqrt{2} =m/n$ было бы рациональным), то $m < n \sqrt{2}$ и $m^{2} < 2n^{2}$. Поэтому
$1 \leq 2n^{2} – m^{2} = (n \sqrt{2} - m)( n \sqrt{2} + m) =$
$= {n \sqrt{2}} (n \sqrt{2} + m) < {n \sqrt{2}} 2n \sqrt{2}$,
откуда вытекает требуемая оценка. Пусть задано число $\varepsilon > 0$. Рассмотрим последовательности ${n_{i}}$ и ${m_{i}}$, определенные следующим образом: $n_{1} = m_{1} = 1$,
$n_{i+1} = 3n_{i} + 2m_{i}; m_{i+1} = 4n_{i} + 3m_{i}, i \in \mathbf{N}$.
Тогда $2n_{i}^{2} – m_{i}^{2} = 1$ для всех $i \in \mathbf{N}$. Действительно, при $i =1$ имеем верное равенство $2n^{2}_{1} – m_{1}^{2} = 1$. Если же это равенство верно для некоторого значения $i \in \mathbf{N}$, то
$2n_{i+1}^{2} – m_{i+1}^{2} = 2 (9n_{i}^{2}+12n_{i}m_{i} + 4 m_{i}^{2}) -$
$ - (16n_{i}^{2} +24 n_{i}m_{i} + 9m_{i}^{2}) = 2n_{i}^{2} – m_{i}^{2} =l$,
т. е. оно верно и для значения $i + 1$. Так как последовательность ${n_{i}}$ возрастает, то можно выбрать такое значение $n = n_{i0}$, чтобы выподнялось неравенство
$n > (1/(2 \sqrt{2}))(1 + 1/ \varepsilon)$.
Тогда справедливы оценки
$\varepsilon ( 2n \sqrt{2} - 1) > 1, (1 + \varepsilon ) (2 n \sqrt{2} - 1) > 2n \sqrt{2}$,
из которых при $m = m_{i0}$ вытекают соотношения
$\frac{1+ \varepsilon}{ 2n \sqrt{2}} > \frac{1}{2n \sqrt{2} - 1} > \frac{1}{n \sqrt{n} + m} = n \sqrt{2} – m = {n \sqrt{2}}$,
поскольку $0 < n \sqrt{2} – m = 1/(n \sqrt{2} + m) < 1$. Задача решена.
