Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1729
2019-01-20 
В треугольнике $ABC (AB < BC)$ точка $I$ - центр вписанной окружности, $M$ - середина стороны $AC$, $N$ - середина дуги $ABC$ описанной окружности. Докажите, что $ \angle IMA = \angle INB$.
Решение:
Пусть $NP$ - диаметр описанной окружности. Тогда $\angle NBP = \angle NAP = 90^{\circ}$,точка $Р$ - середина дуги $AC$, поэтому $\angle ABP = \angle CBP$, т. е. $B$ - биссектриса $\angle ABC$. Следовательно, $I$ лежит на $BP$ (см. рис.).
Диаметр $NP$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$, следовательно, $NP$ проходит через $M$. Так как $\angle AIP$ - внешний для $\triangle AIB,$ то $\angle AIP = \angle BAI + \angle ABI = \frac{\angle BAC}{2} + \frac{\angle ABC}{2} = \angle IAC + \angle CBP = \angle IAC + \angle CAP = \angle IAP$. Получаем, что $\triangle API$ - равнобедренный ($AP = IP$). $AM$ - высота прямоугольного треугольника $NAP$, поэтому $ \frac{AP}{MP} = \frac{NP}{AP} и \frac{IP}{MP} = \frac{NP}{IP}$. Из последнего равенства следует подобие треугольников $\triangle PMI \sim \triangle PIN,$ откуда $\angle PMI = \angle PIN$.
Но $\angle IMA = \angle PMI - 90^{\circ}$, а из прямоугольного $\triangle BNI: \angle INB = \angle PIN - \angle IBN = \angle PIN - 90^{\circ}$.
В треугольнике $ABC (AB < BC)$ точка $I$ - центр вписанной окружности, $M$ - середина стороны $AC$, $N$ - середина дуги $ABC$ описанной окружности. Докажите, что $ \angle IMA = \angle INB$.
Решение:
Пусть $NP$ - диаметр описанной окружности. Тогда $\angle NBP = \angle NAP = 90^{\circ}$,точка $Р$ - середина дуги $AC$, поэтому $\angle ABP = \angle CBP$, т. е. $B$ - биссектриса $\angle ABC$. Следовательно, $I$ лежит на $BP$ (см. рис.).
Диаметр $NP$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$, следовательно, $NP$ проходит через $M$. Так как $\angle AIP$ - внешний для $\triangle AIB,$ то $\angle AIP = \angle BAI + \angle ABI = \frac{\angle BAC}{2} + \frac{\angle ABC}{2} = \angle IAC + \angle CBP = \angle IAC + \angle CAP = \angle IAP$. Получаем, что $\triangle API$ - равнобедренный ($AP = IP$). $AM$ - высота прямоугольного треугольника $NAP$, поэтому $ \frac{AP}{MP} = \frac{NP}{AP} и \frac{IP}{MP} = \frac{NP}{IP}$. Из последнего равенства следует подобие треугольников $\triangle PMI \sim \triangle PIN,$ откуда $\angle PMI = \angle PIN$.
Но $\angle IMA = \angle PMI - 90^{\circ}$, а из прямоугольного $\triangle BNI: \angle INB = \angle PIN - \angle IBN = \angle PIN - 90^{\circ}$.
