Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1722
2019-01-20 
Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точки ${B}^{ \prime} $ и ${C}^{ \prime} $ симметричны соответственно вершинам $B$ и $C$ относительно прямых $AC$ и $AB$. Пусть $P$ - точка пересечения описанных окружностей треугольников $AB{B}^{ \prime}$ и $AC{C}^{ \prime} $, отличная от $A$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на прямой $PA$.
Решение:
Пусть $MO_1$ и $NO_2$ - серединные перпендикуляры к отрезкам $AB$ и $AC$ соответственно ($M, N$ - середины $AB$ и $AC, O_1, O_2$ лежат соответственно на прямых $AC$ и $AB$)(см. рис.).
Точка $O$ пересечения прямых $MO_1$ и $NO_2$ является одновременно центром описанной окружности треугольника $ABC$ и точкой пересечения высот треугольника $AO_1O_2$. Так как $B$ и $B^{\prime}$ симметричны относительно $AC$, то $AC$ является серединным перпендикуляром к $BB^{\prime}$. Значит, $O_1$ равноудалена от точек $A, B, B^{\prime}$, т. е. $O_1$ - центр описанной окружности треугольника $ABB^{\prime}$. Аналогично, $O_2$ - центр описанной окружности треугольника $ACC^{\prime}$. Общая хорда $AP$ двух этих окружностей перпендикулярна линии центров $O_1O_2$. Поэтому $AP$ - высота треугольника $AO_1O_2$, следовательно, $AP$ проходит через $O$.
Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точки ${B}^{ \prime} $ и ${C}^{ \prime} $ симметричны соответственно вершинам $B$ и $C$ относительно прямых $AC$ и $AB$. Пусть $P$ - точка пересечения описанных окружностей треугольников $AB{B}^{ \prime}$ и $AC{C}^{ \prime} $, отличная от $A$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на прямой $PA$.
Решение:
Пусть $MO_1$ и $NO_2$ - серединные перпендикуляры к отрезкам $AB$ и $AC$ соответственно ($M, N$ - середины $AB$ и $AC, O_1, O_2$ лежат соответственно на прямых $AC$ и $AB$)(см. рис.).
Точка $O$ пересечения прямых $MO_1$ и $NO_2$ является одновременно центром описанной окружности треугольника $ABC$ и точкой пересечения высот треугольника $AO_1O_2$. Так как $B$ и $B^{\prime}$ симметричны относительно $AC$, то $AC$ является серединным перпендикуляром к $BB^{\prime}$. Значит, $O_1$ равноудалена от точек $A, B, B^{\prime}$, т. е. $O_1$ - центр описанной окружности треугольника $ABB^{\prime}$. Аналогично, $O_2$ - центр описанной окружности треугольника $ACC^{\prime}$. Общая хорда $AP$ двух этих окружностей перпендикулярна линии центров $O_1O_2$. Поэтому $AP$ - высота треугольника $AO_1O_2$, следовательно, $AP$ проходит через $O$.
