Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1717
2019-01-20 
При каких натуральных $n$ для любых чисел $ \alpha, \beta, \gamma $, являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство $ \sin n \alpha + \sin n \ \beta + \sin n \ \gamma < 0$?
Решение:
Для любого треугольника $T$ с углами $\alpha, \beta, \gamma$ обозначим $f_n(T) = \sin n \alpha + \sin n \beta + \sin n \gamma$.
Лемма. Пусть $x + у + z = \pi k,$ где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда $|\sin x| \leq |\sin y| + |\sin z|$.
При $у \neq \pi l, z \neq \pi l,$ где $l \in \mathbb{Z}$, это неравенство - строгое.
Доказательство.
$|\sin x| = |\sin (y+z)| = |\sin y \cos z + \sin z \cos y| \leq |\sin y| \cdot |\cos z| + |\sin z| \cdot |\cos y| \leq |\sin y| + |\sin z|$.
При $у \neq \pi l, z \neq \pi l,$ где $l \in \mathbb{Z}$, последнее неравенство строгое.
Из леммы следует, что знак функции $f_n(T)$ определяется двумя синусами, имеющими одинаковые знаки: если, например, $\sin n \alpha > 0, \sin n\ \beta > 0,$ то $f_n(T) \geq \sin n \alpha + \sin n \beta - |\sin n \gamma| > 0$.
Очевидно, $f_1(T) > 0$. Для любого (не обязательно остроугольного) треугольника $T$ справедливо и неравенство $f_2(T) > 0$. В самом деле, если $\alpha < \frac{\pi}{2}, \beta < \frac{\pi}{2}, то \sin 2 \alpha > 0, \sin 2 \beta > 0$.
Пусть $n = 3$. Рассмотрим равнобедренные остроугольные треугольники с углами $\alpha и \beta$ при основании: при изменении $x = \alpha = \beta$ от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{2}$ величина $3x$ меняется от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{2}$. Следовательно, $\sin 3x$ (а вместе с ним и $f(T)$) принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Пусть $n = 4, \alpha \geq \beta \geq \gamma$. Поскольку треугольник остроугольный, $\beta > \frac{\pi}{4}$ (если $\beta \leq < \frac{\pi}{4}, \gamma \leq \frac{\pi}{4},$ то $\alpha \geq \frac{\pi}{2})$. Значит, $\pi < 4\beta \leq 4\alpha < 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi$, откуда $\sin 4\alpha < 0, \sin4\beta < 0$. Вследствие леммы $f_4(T) < 0$.
Пусть $n > 4$. Рассуждая как в случае $n = 3$, получаем: при изменении $x = \alpha = \beta$ от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{2}$ величина $у = nx$ пробегает интервал, длина которого больше $\pi$. Следовательно, найдутся точки $x_1$ и $x_2$ такие, что $\sin nx_1 > 0, \sin nx_2 < 0$. Отсюда $f_n(T_1) > 0, f_n(T_2) < 0$, где $T_1$ и $T_2$ - треугольники, соответствующие $x_1$ и $x_2$.
Ответ. 4.
При каких натуральных $n$ для любых чисел $ \alpha, \beta, \gamma $, являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство $ \sin n \alpha + \sin n \ \beta + \sin n \ \gamma < 0$?
Решение:
Для любого треугольника $T$ с углами $\alpha, \beta, \gamma$ обозначим $f_n(T) = \sin n \alpha + \sin n \beta + \sin n \gamma$.
Лемма. Пусть $x + у + z = \pi k,$ где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда $|\sin x| \leq |\sin y| + |\sin z|$.
При $у \neq \pi l, z \neq \pi l,$ где $l \in \mathbb{Z}$, это неравенство - строгое.
Доказательство.
$|\sin x| = |\sin (y+z)| = |\sin y \cos z + \sin z \cos y| \leq |\sin y| \cdot |\cos z| + |\sin z| \cdot |\cos y| \leq |\sin y| + |\sin z|$.
При $у \neq \pi l, z \neq \pi l,$ где $l \in \mathbb{Z}$, последнее неравенство строгое.
Из леммы следует, что знак функции $f_n(T)$ определяется двумя синусами, имеющими одинаковые знаки: если, например, $\sin n \alpha > 0, \sin n\ \beta > 0,$ то $f_n(T) \geq \sin n \alpha + \sin n \beta - |\sin n \gamma| > 0$.
Очевидно, $f_1(T) > 0$. Для любого (не обязательно остроугольного) треугольника $T$ справедливо и неравенство $f_2(T) > 0$. В самом деле, если $\alpha < \frac{\pi}{2}, \beta < \frac{\pi}{2}, то \sin 2 \alpha > 0, \sin 2 \beta > 0$.
Пусть $n = 3$. Рассмотрим равнобедренные остроугольные треугольники с углами $\alpha и \beta$ при основании: при изменении $x = \alpha = \beta$ от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{2}$ величина $3x$ меняется от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{2}$. Следовательно, $\sin 3x$ (а вместе с ним и $f(T)$) принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Пусть $n = 4, \alpha \geq \beta \geq \gamma$. Поскольку треугольник остроугольный, $\beta > \frac{\pi}{4}$ (если $\beta \leq < \frac{\pi}{4}, \gamma \leq \frac{\pi}{4},$ то $\alpha \geq \frac{\pi}{2})$. Значит, $\pi < 4\beta \leq 4\alpha < 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi$, откуда $\sin 4\alpha < 0, \sin4\beta < 0$. Вследствие леммы $f_4(T) < 0$.
Пусть $n > 4$. Рассуждая как в случае $n = 3$, получаем: при изменении $x = \alpha = \beta$ от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{2}$ величина $у = nx$ пробегает интервал, длина которого больше $\pi$. Следовательно, найдутся точки $x_1$ и $x_2$ такие, что $\sin nx_1 > 0, \sin nx_2 < 0$. Отсюда $f_n(T_1) > 0, f_n(T_2) < 0$, где $T_1$ и $T_2$ - треугольники, соответствующие $x_1$ и $x_2$.
Ответ. 4.
