Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1714
2019-01-20 
Пусть многочлен $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots+ а_0$ имеет хотя бы один действительный корень и $а_0 \neq 0$. Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи $P(x)$, можно получить из него число $а_0$ так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.
Решение:
В решении будем использовать следующие факты.
1) Непрерывная функция (в частности, многочлен), принимающая на концах интервала значения разных знаков, обращается в ноль в некоторой точке этого интервала.
2) При достаточно больших положительных $x$ значения многочлена по знаку совпадают с его старшим коэффициентом. При достаточно больших по модулю отрицательных $x$ значения многочлена по знаку совпадают с его старшим коэффициентом, если степень его четна, и противоположны ему, если степень его нечетна. В частности, ввиду 1), многочлен нечетной степени всегда имеет корень.
Приведем схему вычеркивания одночленов, дающую на каждом шаге многочлены, имеющие корни. Пусть многочлен $P(x) - ax^n + bx^m +\cdots \cdots + c (a,b \neq 0)$ содержит не менее трех членов, $x_n$ и $x_m$ - две старших степени переменной $x$ в $P(x) (c = P(0) \Rightarrow c \neq 0$. Если $n$ или $m$ нечетно, вычеркивая в $P(x)$ одночлен $bx^m\:или ax^n$ соответственно, получим многочлен нечетной степени, имеющий хотя бы один корень. Вычеркивая в дальнейшем другие одночлены, мы получим искомую последовательность многочленов. Поэтому далее рассматриваем случай, когда $n$ и $m$ четны. Умножая при необходимости на -1, можем считать $a > 0$. Если $c < 0$, то в $P(x)$ можно вычеркнуть любой одночлен, отличный от старшего и свободного члена, полученный многочлен $P_1(x)$ принимает отрицательное значение $с$ при $x = 0$ и положительное при достаточно большом $x$, значит, имеет корень. Далее считаем $с > 0$.
Пусть $P(t) = 0$. Если $b > 0$, вычеркнем в $P(x)$ одночлен $bx^m$. При больших положительных $x$ значение полученного многочлена $P_1(x)$ положительно, но $P_1(t) = P(t) - bt^m < 0$ (так как $t \neq 0,$ а $m$ - четно), следовательно $P_1(x)$ имеет корни. Если же $b < 0$, вычеркнем одночлен $ax^n$, тогда значения $P_1(x)$ отрицательны при больших $x,$ но $P_1(0) = P(0) = с > 0$, значит, он тоже имеет корни. По приведенной схеме мы получим в конце многочлен, имеющий корни и содержащий ровно два одночлена, один из которых - $P(0)$. Утверждение доказано.
Пусть многочлен $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots+ а_0$ имеет хотя бы один действительный корень и $а_0 \neq 0$. Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи $P(x)$, можно получить из него число $а_0$ так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.
Решение:
В решении будем использовать следующие факты.
1) Непрерывная функция (в частности, многочлен), принимающая на концах интервала значения разных знаков, обращается в ноль в некоторой точке этого интервала.
2) При достаточно больших положительных $x$ значения многочлена по знаку совпадают с его старшим коэффициентом. При достаточно больших по модулю отрицательных $x$ значения многочлена по знаку совпадают с его старшим коэффициентом, если степень его четна, и противоположны ему, если степень его нечетна. В частности, ввиду 1), многочлен нечетной степени всегда имеет корень.
Приведем схему вычеркивания одночленов, дающую на каждом шаге многочлены, имеющие корни. Пусть многочлен $P(x) - ax^n + bx^m +\cdots \cdots + c (a,b \neq 0)$ содержит не менее трех членов, $x_n$ и $x_m$ - две старших степени переменной $x$ в $P(x) (c = P(0) \Rightarrow c \neq 0$. Если $n$ или $m$ нечетно, вычеркивая в $P(x)$ одночлен $bx^m\:или ax^n$ соответственно, получим многочлен нечетной степени, имеющий хотя бы один корень. Вычеркивая в дальнейшем другие одночлены, мы получим искомую последовательность многочленов. Поэтому далее рассматриваем случай, когда $n$ и $m$ четны. Умножая при необходимости на -1, можем считать $a > 0$. Если $c < 0$, то в $P(x)$ можно вычеркнуть любой одночлен, отличный от старшего и свободного члена, полученный многочлен $P_1(x)$ принимает отрицательное значение $с$ при $x = 0$ и положительное при достаточно большом $x$, значит, имеет корень. Далее считаем $с > 0$.
Пусть $P(t) = 0$. Если $b > 0$, вычеркнем в $P(x)$ одночлен $bx^m$. При больших положительных $x$ значение полученного многочлена $P_1(x)$ положительно, но $P_1(t) = P(t) - bt^m < 0$ (так как $t \neq 0,$ а $m$ - четно), следовательно $P_1(x)$ имеет корни. Если же $b < 0$, вычеркнем одночлен $ax^n$, тогда значения $P_1(x)$ отрицательны при больших $x,$ но $P_1(0) = P(0) = с > 0$, значит, он тоже имеет корни. По приведенной схеме мы получим в конце многочлен, имеющий корни и содержащий ровно два одночлена, один из которых - $P(0)$. Утверждение доказано.
